¿Cuál es el número de números de 4 dígitos no crecientes?

Este problema, aunque bastante simple, ha dejado perpleja a mi mente adolescente. ¿Cuántos números de 4 dígitos hay cuyos dígitos no son crecientes? Esto parecía bastante simple al principio, lo que significa que tengo los dígitos [9 8 7 6 5 4 3 2 1 0], y solo elijo cuatro números de los que me dan la respuesta 10C4, 210, pero esto no incluye el hecho que una posible solución podría ser 9999, 9988 o 6332, un número con dígitos repetidos. ¿Cómo haría para incluir esto en una ecuación? ¿Cómo sería esa ecuación? Supongo que la solución sería algo relacionado con el método de trabajo de casos, pero en primer lugar no estoy muy familiarizado con él.

Respuestas (3)

Enfoque alternativo que llega a la misma respuesta que el de Bulbasaur.

En realidad, su artículo Combinación con repetición puede interpretarse como una presentación alternativa de Estrellas y barras que también se analiza aquí .

Considere cualquier solución específica para

(1) X 1 + X 2 + ⋯ + X 10 = 4 ,

dónde X 1 , X 2 , ⋯ , X 10 todos deben ser
enteros no negativos,
y X k se refiere al número de ocurrencias del dígito k
en el número de 4 dígitos, cuando k ∈ { 1 , 2 , ⋯ , 9 } .
A continuación, puede dejar X 10 se refieren al número de ceros en el número de 4 dígitos.

Para cada una de estas soluciones, hay exactamente una forma en que los 4 dígitos que corresponden a la solución pueden permutarse en un orden no creciente.

Por lo tanto, la enumeración del posible número satisfactorio de números de 4 dígitos es la misma que la enumeración del número de soluciones de la ecuación en (1) anterior.

Según los artículos vinculados, el número de soluciones para
X 1 + X 2 + ⋯ + X k = norte ,
donde X 1 , ⋯ , X k se requiere que sean enteros no negativos es
( norte + [ k − 1 ] k − 1 ) .

En el problema presente, norte = 4 y k = 10 .

Además, como se sugiere en la respuesta de Bulbasaur, dado que tener el dígito más a la izquierda igual 0 normalmente está prohibido, la cadena específica de 4 dígitos de 0 − 0 − 0 − 0 puede o no ser necesario que se deduzcan del recuento total.

elaborado y claro !! y mejor que mi respuesta +1
Comentario menor: divertido que dijiste que puedes dejar X 10 referirse al número de ceros, cuando podrías haber escrito simplemente X 0 !
@qwr Ese enfoque habría enturbiado las aguas. Era importante mantenerse exactamente dentro del marco de las variables indexadas como X 1 , X 2 , ⋯ , X k , por lo que la cruda aplicación de la teoría en los artículos citados de Stars and Bars hubiera sido inmediatamente ineludible . Esto es mejor que obligar al lector (que podría no estar muy familiarizado con la teoría) a inferir que cuando las variables están indexadas X 0 , X 1 , ⋯ , X 9 , que entonces k = 10 en vez de k = 9 .
Creo que la reindexación aclara las cosas, pero veo tu punto

En lugar de una combinación normal, debe usar una combinación con repetición, porque algunos dígitos pueden ser iguales, como 8888 , 6655 etc., si usa una combinación normal, encontrará los dígitos estrictamente crecientes o decrecientes. Entonces ,

C ( 10 + 4 − 1 , 4 ) = C ( 13 , 4 )
por la fórmula de combinación con repetición, pero date cuenta de que C ( 13 , 4 ) cuenta el dígito de 0000 , así que restarlo del total. Entonces la respuesta es C ( 13 , 4 ) − 1

Mira : Combinación con repetición

+1 por la creatividad de encontrar la combinación con el artículo/enfoque de repetición. Véase también mi respuesta.
¡Creo que esta respuesta es realmente correcta! ¡Mucho aprecio tanto para usted como para el usuario 266193 (respondido a continuación)! ¡Eso tiene mucho más sentido! Además, gracias por presentarme la idea de las combinaciones con repetición. ¡Aprendí tanto una nueva teoría como una fórmula! ¡Gracias de nuevo!

Hasta ahora, ha contado todas las opciones en las que hay cuatro dígitos diferentes que forman el número y se ha dado cuenta de que en realidad no son todas. Ahora necesita averiguar cómo pueden ser las otras opciones.

Creo que los casos que estás cerca de identificar son las respuestas a la pregunta "¿qué dígitos se repiten?". Hasta ahora, ha hecho el caso "todos los dígitos son diferentes". Otro podría ser "el primer dígito se repite tres veces y el último dígito es diferente". Otro podría ser "todos los dígitos son iguales". Piensa en todos estos casos, y para cada uno cuéntalos de la misma manera que lo hiciste en el caso "todos los dígitos son diferentes".

Alternativamente, no necesita usar casos si quiere pensarlo de manera un poco diferente. Comenzaste eligiendo cuatro números de [9,8,7,6,5,4,3,2,1,0], pero los hiciste todos diferentes. Así que nunca ibas a obtener algo con dígitos repetidos. ¿Qué sucede si aún elige cuatro números, pero se deja elegir el mismo número nuevamente?

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