Demuestra: ∑kk(mk)(nk)=n(m+n−1n)∑kk(mk)(nk)=n(m+n−1n)\sum_k k \binom{m}{k} \binom{ n}{k} = n\binom{m+n-1}{n}

Calcular el coeficiente de$x^n$en la expansión de$(1+x)^r (1+x)^s=(1+x)^{r+s}$...(1)

Como,$k{n \choose k}{m \choose k}=n{n-1 \choose k-1}{m \choose k}=n{n-1 \choose n-k}{m \choose k}$.

Ahora de (1), se sigue el resultado.

La Identidad de Vandermonde que se deriva de la doble contabilidad o la expansión$(1+x)^s (1+x)^r = (1+x)^{s+r}$es como sigue.
$\sum_k \binom{r}{k} \binom{s}{n-k} = \binom{r+s}{n}.$

Ahora en el VI, pon$r=m$y$s=n-1$. Entonces tenemos
$\sum_k \binom{m}{k} \binom{n-1}{n-k} = \binom{m+n-1}{n}.$
Multiplicando ambos lados de esta ecuación por$n$,
$\sum_k n \binom{m}{k} \binom{n-1}{n-k}=n\binom{m+n-1}{n-k}.$

Porque
$\sum_k k \binom{n}{k} \binom{m}{k} = \sum_k n\binom{n-1}{k-1} \binom{m}{k} = \sum_k n\binom{n-1}{n-k} \binom{m}{k}$,
entonces
$\sum_k k \binom{n}{k} \binom{m}{k} =n\binom{m+n-1}{n-k}.$

$\square$

Gracias a @user152715 por su guía