Generalizando r(n2)=r(n)2,r(n2)=r(n)2,\,r(n^2) = r(n)^2,\, para r(n):=r( n):=\,r(n) := invertir los dígitos de nnn

Felicitaciones, esencialmente ha descubierto una propiedad interesante de los polinomios, como se manifiesta (parcialmente) en sus evaluaciones (aquí radix$10$polinomios). Es decir, invertir los coeficientes de un polinomio es una operación multiplicativa .

Dejar$\,f = a_n x^n +\cdots a_1 x + a_0\,$Sea un polinomio en$x.\,$Invirtiendo sus rendimientos de coeficientes

$\ \ r(f) = a_0 x^n + \cdots a_{n-1}x + a_n = x^n f(x^{-1}),\ $el inverso (o recíproco) de$\,f.$

es facil de mostrar $\,r(fg)\, =\, r(f)r(g),\,$es decir, la inversión del polinomio es multiplicativa . Por ejemplo

$\qquad \begin{align} (x+2)\ (x+3)\, &=\ \ x^2+5x+6\, \overset{\large x\, =\, 10}\Longrightarrow\, 12\cdot 13\, =\, 156\\ \overset{\rm reverse}\Longrightarrow (2x+1)(3x+1)\, &= 6x^2+5x+1\ \ \Longrightarrow\,\ \ 21\cdot 31\, =\, 651 \end{align}$

Tus ejemplos son casos especiales cuando el producto es un cuadrado (de polinomios de grado$\le 3),\,$pero desde arriba vemos que se generaliza a polinomios de grado arbitrario. Sin embargo, para que los polinomios produzcan inversiones enteras cuando se evalúan en la raíz$\,x=10\,$es necesario que todos los polinomios (incluido el producto) tengan coeficientes no negativos menores que la raíz.

Tenga en cuenta que invertir dos veces produce el polinomio original cuando el reverso tiene el mismo grado$(\!\!\iff\! f(0)\neq 0),\,$es decir, en este caso, invertir es una involución o reflexión$\,r^2 f = f\,$Desde que tenemos$r(r(f(x)) = x^n r(f(x^{-1})) = x^n ((x^{-1})^nf((x^{-1})^{-1}) = f(x).\,$En particular$\,f(0)\neq 0\,$es verdad cuando$\,f = rg\,$es una inversión, entonces$\,r^2(rg) = rg,\,$es decir$\,r^3g = rg\,$para todos$\,g$.

Observación En general, el mapa de evaluación ayuda a relacionar las propiedades (teóricas de anillos) de los polinomios con las propiedades de sus evaluaciones. Por ejemplo, en algunos contextos podemos deducir que si un polinomio toma un valor con pocos factores, entonces el polinomio también debe tener pocos factores (esto se usa a menudo en problemas de concurso ya que no es tan conocido como debería ser).

Se puede llevar esta idea al límite para obtener un algoritmo simple para la factorización de polinomios mediante la factorización de sus valores enteros y la interpolación de Lagrange (utilizando ideas que se remontan a Bernoulli, Schubert y Kronecker).

Pista: Si un cuadrado de 3 dígitos es igual a$(10x+y)^2 (1 \leq x,y \leq 9)$, ¿cuáles son las condiciones en$x,y$para los 3 dígitos en orden inverso para formar un cuadrado? ¿Puedes extender esto a, por ejemplo, un cuadrado de 5 dígitos que equivalga a$(100x+y)^2$?

El caso es que$(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2$. La inversión funcionará mientras$a^2,2ab,b^2$son todos menos que$10$así que no hay acarreo. Si intentas ir a cuadrados de cuatro dígitos, necesitas$a^2$o$2ab$llevar, lo que hará que la inversión falle.

Si vas a raíces cuadradas de tres dígitos, tenemos$(100a+10b+c)^2=10000a^2+2000ab+100(b^2+2ac)+20bc+c^2$. Para que la inversión funcione, no necesita acarreos aquí, por lo que todos los dígitos deben ser pequeños.