¿La simetrización de la función de onda cambia la energía?

Supongamos dos electrones que no interactúan, en un potencial independiente del tiempo, descrito por la ecuación:

H ψ ( r 1 , r 2 ) = − ℏ 2 2 metro ( ∇ 1 2 + ∇ 2 2 ) ψ ( r 1 , r 2 ) + V ( r 1 ) ψ + V ( r 2 ) ψ = mi
Podemos separar esta ecuación suponiendo ψ ( r 1 , r 2 ) = ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ) . En el proceso de resolución obtenemos mi = mi 1 + mi 2 , entonces:

H ψ 1 ( r 1 ) ψ ( r 2 ) = ( mi 1 + mi 2 ) ψ 1 ( r 1 ) ψ ( r 2 ) = mi ψ 1 ( r 1 ) ψ ( r 2 )

Ahora bien, si digo que la función de onda total debe ser antisimétrica, puedo combinar ambas soluciones:

ψ T O T A L = 1 2 [ ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 1 ) − ψ 2 ( r 1 ) ψ 1 ( r 2 ) ]

Pero ahora, esta función de onda no es necesariamente un vector propio de H , entonces, al escribir la función de onda de esta manera, ¿cambia la energía del estado total? Sé que el primer término de la función de onda total es vector propio de H , pero el segundo no, ¿cuáles son las energías posibles para este sistema?

Respuestas (1)

En su caso particular donde considera funciones de onda separables (Hamiltonian tiene sus partículas que no interactúan), no entiendo por qué dice que la forma ψ T O T A L = 1 2 [ ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 1 ) − ψ 2 ( r 1 ) ψ 1 ( r 2 ) ] no es necesariamente una solución.

De hecho, esto es solo una combinación lineal de productos de Hartree de funciones de onda de un electrón. Estaba bien aceptar esos productos individualmente como una solución, entonces, ¿por qué no lo sería una combinación lineal?

Además, si entiendes que < ψ 1 ( r 1 ) ψ ( r 2 ) | H | ψ 1 ( r 1 ) ψ ( r 2 ) >= mi 1 + mi 2 = mi , puede verificar muy fácilmente lo que está sucediendo para su determinante slater:

H | ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ) − ψ 2 ( r 1 ) ψ 1 ( r 2 ) >= H | ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ) > − H | ψ 2 ( r 1 ) ψ 1 ( r 2 ) >
= ( mi 1 + mi 2 ) | ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ) > − ( mi 1 + mi 2 ) | ψ 2 ( r 1 ) ψ 1 ( r 2 ) >= mi | ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ) − ψ 2 ( r 1 ) ψ 1 ( r 2 ) >

de modo que < ψ T O T A L | H | ψ T O T A L >= mi , dándote la misma Energía

EDITAR: para ver que el producto intercambiado produce el mismo valor, considere que puede dividir su hamiltoniano en dos: H = H 1 + H 2 dónde

H i = − ℏ 2 2 metro ∇ i 2 + V ( r i )
cada uno de esos actos hamiltonianos solo en una partícula, por lo que tiene:
H | ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ) >= ( H 1 | ψ 1 ( r 1 ) > ) ⊗ | ψ 2 ( r 2 ) > + ψ 1 ( r 1 ) > ⊗ ( H 2 | ψ 2 ( r 2 ) > )
con H 1 | ψ 1 ( r 1 ) >= mi 1 | ψ 1 ( r 1 ) > y H 2 | ψ 2 ( r 2 ) >= mi 2 | ψ 2 ( r 2 ) >

Ahora, puedes darte cuenta de que los dos hamiltonianos son iguales , solo que actúan sobre partículas diferentes. ¿Bien? entonces si tienes H 1 | ψ 1 ( r 1 ) >= mi 1 | ψ 1 ( r 1 ) > , debes tener H 2 | ψ 1 ( r 2 ) >= mi 1 | ψ 1 ( r 2 ) > porque H1 y H2 son esos mismos hamiltonianos (solo actúan sobre r1 o r2), y dan el mismo valor propio para el mismo vector propio. Por lo tanto:

H | ψ 2 ( r 1 ) ψ 1 ( r 2 ) >= ( H 1 | ψ 2 ( r 1 ) > ) ⊗ | ψ 1 ( r 2 ) > + ψ 2 ( r 1 ) > ⊗ ( H 2 | ψ 1 ( r 2 ) > )
= mi 2 | ψ 2 ( r 1 ) > ⊗ | ψ 1 ( r 2 ) > + mi 1 ψ 2 ( r 1 ) > ⊗ | ψ 1 ( r 2 ) >= ( mi 1 + mi 2 ) | ψ 2 ( r 1 ) ψ 1 ( r 2 ) >

Sé que es una solución, mi pregunta era si era una solución con el mismo valor propio. El punto de confusión es porque no puedo ver por qué H ψ 2 ( r 1 ) ψ 1 ( r 2 ) = mi 2 + mi 1 . Si solo conozco el caso con coordenadas cambiadas.
Pregúntate por qué aceptaste en primer lugar que ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ) era un vector propio de H con valor propio mi 1 + mi 2 . La misma línea de pensamiento debería llevarlo a aceptar lo mismo para la función de onda intercambiada, ya que el hamiltoniano es el mismo para ambas partículas. En una nota al margen, está escribiendo mal su relación de valores propios; el hamiltoniano no reduce una función de onda a un valor real
Supuse que resolví la ecuación y descubrí, ahora si resuelves el otro caso, ¿por qué obtendrías lo mismo?
En el proceso de separar variables, cuando definimos dos constantes, al final obtenemos que mi es la suma de ambos.
editado para responder separando el hamiltoniano
gracias solo tienes que agregar eso V 1 = V 2 .
Pensando en tu respuesta, esta es la razón por la que hacemos la simetrización, lo hacemos para partículas idénticas, lo que significa igual masa e igual V(r). Porque si no fuera así, estaríamos cambiando la energía.
¿La simetrización de la función de onda cambia la energía?
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