¿Por qué esta transformación no lineal no es una transformación de Lorentz? Conserva x2+y2+z2−c2t2=x′2+y′2+z′2−c2t′2x2+y2+z2−c2t2=x′2+y′2+z′2−c2t′2x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2t'^2

La transformación de Lorentz es un mapeo de la X ′ , y ′ , z ′ , y t ′ coordenadas relativas a X , y , z , t que preserva la velocidad de la luz:

(1) X 2 + y 2 + z 2 − C 2 t 2 = X ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 − C 2 t ′ 2 = 0

Si k ′ se mueve con velocidad v en el X dirección relativa a k (de modo que k se mueve con velocidad − v en el X dirección relativa a k ′ ), y usamos la transformación de Galileo, obtenemos un error

(2) X ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 − C 2 t ′ 2 = − 2 v X t + v 2 t 2

que NO es igual a cero, y por lo tanto no describe una esfera de radio C t que emana del origen de k ′ , pero algo más (estoy bastante seguro de que es una esfera que se ha desplazado negativamente en el X dirección por una pequeña cantidad, en relación con k ′ ). La transformación de Lorentz dice que modificamos tanto el X ′ = X − v t y el t ′ = t relaciones para asegurar que terminemos obteniendo 0.

Sin embargo, como un matemático ingenuo, observo la ecuación (2) y pienso: "Vale, tenemos que modificar la regla para X ′ , o t ′ , o ambos, para deshacerse de ese desagradable − 2 X v t + v 2 t 2 término en el X ′ regla. ¿Por qué no simplemente establecer t ′ para que en lugar de salir a − C 2 t 2 , en realidad sale a la luz − C 2 t 2 + 2 v X t − v 2 t 2 , de modo que los términos adicionales se cancelen?" Ingenuamente seguí adelante con esta idea y obtuve la siguiente transformación de coordenadas:

X ′ = X − v t y ′ = y z ′ = z t ′ = 1 C ( v 2 + C 2 ) t 2 − 2 v X t

Si conecta esto en (1), obtiene 0 como se supone que debe hacerlo.

Ahora, no he podido encontrar una explicación de por qué esta transformación es insatisfactoria. Por supuesto, ya no es lineal, pero ¿hay alguna razón básica por la que la transformación deba ser lineal? Obviamente esta transformación satisface el postulado de Einstein sobre la constancia de la velocidad de la luz para todos los observadores inerciales.

Presumiblemente, entonces, debe violar el primer postulado, con respecto a la equivalencia de todos los fenómenos físicos para los observadores inerciales; de lo contrario, necesitaríamos más información para derivar la transformación de Lorentz, que creo que se supone que es derivable solo de los dos postulados. .

Entonces, al final, tengo una pregunta que estoy tratando de responder:

  1. ¿Viola esta transformación la equivalencia para los observadores inerciales? ¿Por qué? (Idealmente, alguien podría darme un ejemplo de una fuerza que aparece de repente en mi sistema de coordenadas que aún no existía en el otro sistema de coordenadas)
@BenSelfridge En términos intuitivos, más allá de preservar el intervalo: se espera que una transformación físicamente aceptable transforme cualquier movimiento uniforme lineal en un movimiento uniforme lineal. Su transformación mapea cada movimiento uniforme lineal que pasa por el origen en uno similar, pero no lo hace para movimientos lineales arbitrarios que no interceptan el origen. Interesante ejemplo de todos modos.
Las transformaciones de Lorentz en la relatividad especial no se trata de la conservación de algunos " X 2 − t 2 " forma, con x y t siendo coordenadas. Se trata de conservar la métrica en cada punto en el espacio-tiempo. El primero no es realmente geométrico, mientras que el segundo sí lo es.

Respuestas (4)

El espacio-tiempo plano en la relatividad especial es el mismo en todas partes, por lo que debemos tener simetría de traslación en el tiempo y el espacio. Si comenzamos con dos eventos separados por Δ X m en un cuadro, la separación Δ X ′ m en un marco mejorado solo debe depender de Δ X m , y no en X m sí mismo. Esto solo se cumple para transformaciones lineales.

Usando sus transformaciones, los observadores podrían identificar un punto privilegiado. Esto viola el principio de relatividad incluso para observadores en reposo unos respecto de otros, ya que depende de dónde pongan sus orígenes.

Estoy barriendo algunos detalles debajo de la alfombra. Esto solo funciona para SR en coordenadas cartesianas, y la simetría traslacional no es realmente un postulado directo de SR sino una consecuencia de otras cosas. Pero esta es la forma más clara de mostrar por qué las transformaciones como la anterior no son adecuadas.
Mira, puedo entender esto matemáticamente, pero es difícil obtener una intuición física. ¿Hay alguna manera de describir un experimento en el que el observador en el origen de K' pueda decir que se está moviendo?
Creo que lo he expresado en términos que puedo entender.
Hay transformaciones de Lorentz entre coordenadas polares en SR. Son no lineales. ¿Por qué dices entonces que las transformaciones de Lorentz siempre serán lineales? La Transformación de Lorentz entre coordenadas polares será no lineal.

1. Respuesta a su ejemplo específico: suponga que usted y yo estamos ubicados en un punto que elegimos llamar origen. usted está viajando a la velocidad 3 / 5 con respecto a mi (Tomo C = 1 ).

Nuestro amigo, a un año luz de distancia según yo, enciende una luz a la vez t = 1 / 2 .

Según tú, esa luz parpadea a la hora. i 13 / 50 .

Así que veo la luz parpadeando en un tiempo real, mientras que tú la ves parpadeando en un tiempo imaginario, sea lo que sea que eso signifique. Presumiblemente significa que no lo ves parpadeando en absoluto. Esa es una manera de saber que se está moviendo.

2. Respuesta a la pregunta más general de "¿por qué lineal?": Más fundamentalmente: si ambos observamos a una tercera persona que se aleja del origen a alguna otra velocidad, y si ninguna fuerza actúa sobre esa persona, y si pasa a través de ambas cosas ( X 1 , t 1 ) y ( X 2 , t 2 ) (según yo) entonces debemos tener X 1 / t 1 = X 2 / t 2 . Y si debe estar de acuerdo en que no tiene fuerzas que actúen sobre él, entonces también debemos tener X 1 ′ / t 1 ′ = X 2 ′ / t 2 ′ . Estas consideraciones forzarán la implicación

( X 1 t 2 = X 2 t 1 ) ⇒ ( X 1 ′ t 2 ′ = X 2 ′ t 1 ′ )
lo que restringe mucho las transformaciones permitidas.

Ok, esta puede ser la respuesta para mí. Así es como lo interpreto. Si x'(t') = at' es la posición de alguna masa que se mueve a una velocidad constante en K', entonces esperaríamos que x(t), la posición de la masa en términos de K, sea una función lineal en t. Pero si haces la derivada de x para esta masa, no obtienes una constante. No puedo hacer los cálculos yo mismo, ¿alguien puede ayudarme?
Hay transformaciones de Lorentz entre coordenadas polares en SR. Son no lineales. ¿Por qué dices entonces que las transformaciones de Lorentz siempre serán lineales? La Transformación de Lorentz entre coordenadas polares será no lineal.

Aquí es donde es bueno distinguir (x,y,z,t) como las coordenadas en el espacio de Minkowski frente a un espacio tangente en cualquier punto. El espacio de Minkowski se presenta como una variedad, pero el espacio tangente se presenta como un espacio vectorial (por lo que tiene sentido preguntar por la linealidad). Entonces es un caso feliz que puedas identificarlos. Esto es lo que Δ X de la respuesta de @knzhou está tratando de decir moviéndolo al espacio vectorial en lugar del múltiple. Si observa en qué categorías se encuentran sus objetos, lo que puede hacer con ellos se convierte en una opción.

Estoy de acuerdo en que deberíamos trabajar con los espacios tangentes, no con la variedad. Pero no creo que sea suficiente para concluir que las transformaciones deben ser lineales. Hay muchas categorías cuyos objetos son espacios vectoriales. La pregunta se reduce a: ¿Por qué estamos mirando la categoría de espacios vectoriales y mapas lineales, en oposición a, digamos, la categoría de espacios vectoriales (topológicos) y homomorfismos?
@WillO Creo que el punto físico clave es que los mapas que estamos considerando aquí no son mapas entre puntos de espacio-tiempo. Las transformaciones de Lorentz son pasivas; mapean las coordenadas de los observadores, no los puntos a los que se refieren las coordenadas.
Esto todavía no es suficiente para obtener linealidad, ya que podría, por ejemplo, cambiar entre coordenadas cartesianas y polares. Pero lo segundo es que en RS nos preocupamos explícitamente por los sistemas de coordenadas donde las coordenadas tienen una interpretación física directa en términos de redes de relojes y reglas. Eso nos restringe a coordenadas 'similares a cartesianas' y nos obliga a usar mapas lineales. Puede tener transformaciones de Lorentz "polares" pero, por supuesto, no son lineales en las coordenadas.
@knzhou: No me opongo a nada de lo que dice, pero no creo que aborde la pregunta. Ha demostrado que si imponemos ciertos requisitos, podemos deducir la linealidad. El OP preguntó si, si imponemos ciertos otros requisitos, podemos deducir la linealidad. Así que creo que estás dando una respuesta perfectamente buena a una pregunta que no se hizo.
Es el hecho de que está en el espacio tangente/pasivo+el hecho de que debes estar de acuerdo con la luz. Pero eso te da la transformación ortogonal del vielbien. Para ser lineal, desea que las personas puedan hacer coincidir de manera coherente lo que quieren decir al agregar y escalar vectores.

Existe un teorema debido a Zeeman que, bajo suposiciones muy suaves, prueba que las transformaciones admisibles en la relatividad especial son elementos del grupo de Lorentz. Esto se trata, por ejemplo, en "La geometría del espacio-tiempo de Minkowski" de Naber .

Para fijar definiciones, un observador es admisible si tiene un sistema de coordenadas espaciales cartesianas tridimensionales, de mano derecha, basado en una unidad de longitud acordada y en relación con la cual los fotones se propagan rectilíneamente a una velocidad fija en cualquier dirección, así como una reloj estándar ideal basado en una unidad de tiempo acordada con la que proporcionar un orden temporal cuantitativo a los eventos en su línea de tiempo, en la que la velocidad de la luz será 1.

El mapeo de las coordenadas de un observador admisible a la de otro constituye un mapa invertible

F : R 4 → R 4

Se hará la siguiente suposición: dos observadores admisibles coinciden en el orden temporal de dos eventos en la línea de tiempo de un fotón, es decir, si X y y son eventos en las coordenadas de un observador, y X ^ y y ^ esos para otro, entonces X 0 − y 0 (coordenadas de tiempo) y X ^ 0 − y ^ 0 tienen el mismo signo (no se exige que los tiempos sean iguales).

Dejar v Sea el vector velocidad del fotón (que es constante). Ya que en nuestras unidades C = 1 , tenemos ‖ v ‖ = 1 . Tenemos para dos puntos cualesquiera X y y en la línea de mundo del fotón que

X i − y i = v i ( X 0 − y 0 )

por i = 1 , 2 , 3 . En consecuencia, en la línea de mundo del fotón

( X 0 − y 0 ) 2 − ( X 1 − y 1 ) 2 − ( X 2 − y 2 ) 2 − ( X 3 − y 3 ) 2 = 0

Este es un cono en R 4 con vértice en y . Obviamente, este cono debe conservarse en cualquier sistema de coordenadas, por lo tanto, también lo hace el mapa de cambio de coordenadas. F . Zeeman llamó a tal mapa un automorfismo causal y probó que F = T ∘ k ∘ Λ , dónde T es una traducción y k es una dilatacion de R 4 , y Λ ∈ O ( 1 , 3 ) con Λ 0 0 ≥ 1 .

Nótese que para este resultado ni siquiera se supone que F es continuo

¿Por qué esta transformación no lineal no es una transformación de Lorentz? Conserva x2+y2+z2−c2t2=x′2+y′2+z′2−c2t′2x2+y2+z2−c2t2=x′2+y′2+z′2−c2t′2x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2t'^2
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v