Pregunta conceptual sobre la velocidad en el movimiento de un proyectil frente a una rampa

Question

Pregunta conceptual sobre la velocidad en el movimiento de un proyectil frente a una rampa

jake3017

Tengo una pregunta con respecto a la conservación de la energía con respecto a dos escenarios diferentes:

En el primer caso me dijeron que una pelota con una velocidad inicial, V, fue lanzada en un ángulo, $\theta$ y para resolver la altura máxima en términos de $h$ .

Entonces, usando $KE_i + U_i = KE_f + U_f$

Encontré:

$KE_i= \frac 12 mv^2$

$U_i = 0$

$KE_f= \frac 12 m(vcos\theta)^2$

$U_f = mgh$

entonces $h$ era $\frac {[v^2(1 - cos^2\theta)]}{2g}$

Ahora...

la siguiente pregunta tenía los mismos parámetros, excepto que estaba inclinada (sin fricción). Obtuve,

$KE_i = \frac 12 mv^2$

$U_i = 0$

$KE_f = 0$ (¿por qué?)

$U_f = mgh$

y lo explicaron con:

"Curiosamente, la respuesta no depende de $\theta$ . La diferencia entre esta situación y el caso del proyectil es que la pelota que se mueve cuesta arriba no tiene energía cinética en la parte superior de su trayectoria, mientras que el proyectil lanzado en ángulo sí la tiene".

Pero ¿ por qué ? ¿Por qué la energía cinética final del movimiento del proyectil depende del ángulo pero la energía cinética final de una pelota que se lanza cuesta arriba es 0 y no depende del ángulo?

biofísico

¿La pelota se detiene en la pendiente...? El proyectil no se detiene en la parte superior de su trayectoria.

Respuestas (4)

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¿La pelota se detiene en la pendiente...? El proyectil no se detiene en la parte superior de su trayectoria.

granjero · Answer 1

La diferencia es que el movimiento del proyectil está restringido por una fuerza: su peso actúa verticalmente hacia abajo y no hay una fuerza horizontal, mientras que el objeto que sube por la rampa está restringido por dos fuerzas: su peso actúa verticalmente hacia abajo y la reacción normal fuerza debida a la rampa que tiene una componente horizontal.

La fuerza de reacción normal no realiza trabajo ya que forma ángulos rectos con el movimiento del objeto, pero significa que en todo momento

v_{r a metro pag}^{2} = v_{r a metro pag, v mi r t i C a yo}^{2} + v_{r a metro pag, h o r i z o norte t a yo}^{2} = v_{r a metro pag}^{2} {pecado}^{2} α + v_{r a metro pag}^{2} {porque}^{2} α

$v_{\rm ramp}^2 = v_{\rm ramp,vertical}^2+v_{\rm ramp,horizontal}^2 = v_{\rm ramp}^2 \sin^2 \alpha + v_{\rm ramp}^2 \cos^2 \alpha$ dónde

α

$\alpha$ es el ángulo de la rampa con la horizontal.
Los movimientos horizontal y vertical no son independientes entre sí y la dirección de la velocidad es siempre en ángulo.

α

$\alpha$ a la horizontal.

Para el proyectil, la componente horizontal de su velocidad no cambia, pero sí su componente vertical de velocidad: son independientes entre sí.

Entonces, cuando la dirección de la velocidad del proyectil está en un ángulo $\beta$ a la horizontal

v_{pag r o j mi C t i yo mi}^{2} = v_{pag r o j mi C t i yo mi, v mi r t i C a yo}^{2} + v_{pag r o j mi C t i yo mi, h o r i z o norte t a yo}^{2} = v_{pag r o j mi C t i yo mi}^{2} {pecado}^{2} β + v_{pag r o j mi C t i yo mi}^{2} {porque}^{2} β

$v_{\rm projectile}^2 = v_{\rm projectile,vertical}^2+v_{\rm projectile,horizontal}^2 = v_{\rm projectile}^2 \sin^2 \beta + v_{\rm projectile}^2 \cos^2 \beta$ con

v_{p r o j e c t i l e} \cos β = v_{p r o j e c t i l e, i n i t i a l} \cos θ = c o n s t a n t

$v_{\rm projectile} \cos \beta = v_{\rm projectile,initial} \cos \theta = \rm constant$ , dónde

θ

$\theta$ fue la dirección inicial de proyección a la horizontal.
La dirección de la velocidad hacia la horizontal cambia con el tiempo y en la mayor altura todavía hay una componente horizontal de la velocidad.

biofísico · Answer 2

De un comentario:

Tengo curiosidad por saber por qué la energía cinética final del movimiento del proyectil depende del ángulo, pero la energía cinética final de una pelota que se lanza cuesta arriba es 0 y no depende del ángulo (a la altura máxima para ambos)

Creo que este comentario muestra un malentendido que debe abordarse.

La palabra "final" es subjetiva y depende de nosotros definirla. Para los problemas de conservación de energía, elige los instantes en el tiempo que desea comparar, y luego observa las energías en cada instante, y luego puede decir que la energía total es igual para cada instante. Por lo tanto, no tiene sentido comparar la energía "final" de un sistema con la energía "final" de un sistema completamente diferente. Tienes que tomar lo que sabes sobre cada sistema primero , y luego miras la energía.

Por ejemplo, con el proyectil, elegimos subjetivamente "inicial" para que sea justo en el lanzamiento y "final" para que sea cuando el proyectil está en su altura máxima. Entonces decimos "bien. Sé que en el punto inicial la energía es toda cinética. Sé que en la altura máxima hay energía potencial y algo de energía cinética dada por lo que sé que es la velocidad. Sé que estas energías totales deben ser igual."

Con la inclinación, elegimos subjetivamente "inicial" para estar justo en el lanzamiento y "final" para estar cuando el proyectil está en su altura máxima. Entonces decimos "bien. Sé que en el punto inicial la energía es toda cinética. Sé que en la altura máxima hay energía potencial y no hay energía cinética dada por lo que sé que es la velocidad. Sé que estas energías totales deben ser igual."

No hay ninguna razón para pensar que estos sistemas deberían comportarse igual "a la altura máxima" solo porque elegimos subjetivamente el "punto final" para estar a la altura máxima.

JC · Answer 3

Su pregunta no estaba clara, para Q1, hay un "sentido común" de dónde lanzarse para el punto más alto, especialmente cuando estaban enseñando conservación de energía. Para Q2, creo que se suponía que debía usar el estándar newtoniano y simplemente integrarlo.

Tengo curiosidad por saber por qué la energía cinética final del movimiento del proyectil depende del ángulo, pero la energía cinética final de una pelota que se lanza cuesta arriba es 0 y no depende del ángulo (a la altura máxima para ambos)
@ Jake3017 en el máximo alto de un solo $\theta$ , puede haber un componente cinemático, a la altura máxima de todos $\theta$ , también hay energía cinemática =0.

TechDroid · Answer 4

La energía potencial gravitacional es una función únicamente del movimiento vertical de un objeto, por lo que en el caso de que un cuerpo tenga una componente tanto vertical como horizontal en su vector de velocidad (en un ángulo), solo trataremos con la componente vertical al calcular la energía cinética que se está transformando en energía potencial en la altura máxima. Por lo tanto, el ángulo no importa.

En su primer caso, la velocidad vertical a la altura máxima es cero, por lo que haciendo $KE_f= \frac 12 m(vcos\theta)^2$ y no cero cuando se trata de la partición vertical del movimiento es de donde emana su problema. Con base en la ley de conservación de la energía, la energía cinética calculada con la componente vertical del vector velocidad del objeto desde el inicio del movimiento se transforma en energía potencial en la altura máxima del vuelo/trayectoria (la velocidad restante en el cuerpo es la componente horizontal), por lo que en el apogeo el objeto deja de moverse verticalmente y la velocidad vertical es cero, por lo que la energía cinética para la componente vertical es cero. En el caso de la rampa inclinada, el cuerpo deja de moverse tanto horizontal como verticalmente en la altura máxima (siempre y cuando no se caiga de la parte superior de la rampa y siga una trayectoria parabólica hacia abajo, la energía cinética en el apogeo en este caso es cero (tanto vertical como horizontal)),

@Stevens. Mi respuesta no fue en contra de eso, pero dado que el OP está buscando energía potencial a la altura máxima, la energía horizontal del cuerpo ya no debería entrar.
Su primera oración dice que rompieron la conservación de la energía. La energía no es un vector. No hay energía horizontal y vertical.
Nunca dije que la hubiera, pero si no se distinguen o categorizan, la cosa se complica. Puede ver que el OP tiene problemas con el primer caso porque su energía cinética final se deriva de la velocidad horizontal del objeto, mientras que la velocidad vertical es cero. Esto definitivamente es algo que debe contrastarse para que OP entienda qué velocidad se está transformando en potencial en el apogeo.
Supongo que solo estás usando palabras de manera diferente a como estoy acostumbrado. Dice cosas como "energía cinética vertical", y parece decir que el OP está equivocado al decir que la energía cinética final es $\frac12m(v\cos\theta)^2$ cuando esta es de hecho la energía cinética del proyectil a la altura máxima. No hay conservación de energía rota aquí.

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