¿Ejemplos de integrales no triviales exclusivamente irracionales?

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¿Ejemplos de integrales no triviales exclusivamente irracionales?

gran lista
cálculo
integración
Matemáticas
integrales definidas
Numeros irracionales

Roberto Lee

Una integral muy famosa es

$\begin{matrix} (1) & \int_{R} \frac{porque (X)}{X^{2} + 1} d X = \frac{π}{mi} \end{matrix}$ $\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos(x)}{x^2 +1} \, dx = \frac{\pi}{e} \tag{1}$

como se muestra en las respuestas a esta pregunta .

Encuentro esta integral particularmente interesante ya que el resultado se escribe exclusivamente como una combinación (por "combinación" me refiero a un producto/cociente/suma/exponenciación/logaritmo) de números irracionales, donde estoy usando " exclusivamente irracional " aquí para indicar que la respuesta no involucra otros factores de números racionales combinados con los irracionales. Por ejemplo, la integral:

$\int_{0}^{\infty} \frac{X^{2}}{{mi}^{X} - 1} d X = 2 ζ (3)$ $\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{e^x-1}\, dx = 2 \zeta(3)$

Yo no consideraría ser "exclusivamente" irracional por el factor de $2$ multiplicando $\zeta(3)$ .

Decidí buscar otras integrales exclusivamente irracionales similares a $(1)$ que combinan varios números irracionales en su resultado, pero para mi sorpresa, no pude encontrar muchos ejemplos similares a este. La mayoría de los resultados que encontré eran " irracionales simples ", como las siguientes integrales:

$\int_{R} {mi}^{- X^{2}} d X = \sqrt{π}, \int_{0}^{1} en (en (\frac{1}{X})) d X = - γ, \int_{1}^{\infty} \frac{en (X)}{1 + X^{2}} d X = GRAMO$ $\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}, \qquad \int_{0}^{1} \ln\left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)\, dx=-\gamma, \qquad \int_{1}^{\infty}\frac{\ln(x)}{1+x^2} \, dx = G$

que, aunque son exclusivamente irracionales, también pueden escribirse en términos de un solo irracional famoso (de ahí el apodo que les di). Algunos otros hallazgos comunes fueron "casi accidentes" como:

$\int_{0}^{\infty} {mi}^{- X} {en}^{2} (X) d X = γ^{2} + \frac{π^{2}}{6}, \int_{1}^{\infty} \frac{(X^{4} - 6 X^{2} + 1) en (en (X))}{(1 + X^{2})^{3}} d X = \frac{2 GRAMO}{π}$ $\int _0^{\infty }e^{-x}\ln ^2\left(x\right)\ dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}, \qquad \int_{1}^{\infty} \frac{(x^4 - 6x^2+1)\ln(\ln(x))}{(1+x^2)^3}\, dx = \frac{2G}{\pi}$

De hecho, la única otra integral exclusivamente irracional que no era también irracional simple que encontré fue la integral

$\begin{matrix} (2) & \int_{0}^{\infty} \frac{(1 - X^{2}) {sech}^{2} (\frac{π X}{2})}{(1 + X^{2})^{2}} d X = \frac{ζ (3)}{π} \end{matrix}$ $\int_{0}^{\infty} \frac{(1-x^2) \, \text{sech}^2\left(\frac{\pi x}{2} \right)}{(1+x^2)^2}\, dx = \frac{\zeta(3)}{\pi}\tag{2}$

Por supuesto, hay integrales triviales que de hecho dan resultados exclusivamente irracionales. Por ejemplo

$\int_{0}^{\frac{π}{mi}} 1 d X = \frac{π}{mi}$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{e}} 1 \, dx = \frac{\pi}{e}$

pero me gustaría evitar este tipo de integrales. Otro tipo es la solución "disfrazada", que sería algo así como

$\int_{R} \frac{pecado (X)}{mi X} d X = \frac{π}{mi}, \int_{- 1}^{1} \frac{1}{4 X} \sqrt{\frac{1 + X}{1 - X}} en (\frac{2 X^{2} + 2 X + 1}{2 X^{2} - 2 X + 1}) d X = π arccot (\sqrt{φ})$ $\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin(x)}{\color{purple}{e}x}\, dx= \frac{\pi}{e}, \qquad \int_{-1}^1\frac{1}{\color{purple}{4}x}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\ln\left(\frac{2\,x^2+2\,x+1}{2\,x^2-2\,x+1}\right)\ dx =\pi \, \text{arccot}\left(\sqrt{\varphi} \right)$

que en realidad son solo soluciones irracionales simples o cuasi accidentes en los que solo multiplicamos un $\color{purple}{\text{factor}}$ a ambos lados. También me gustaría evitar este tipo de integrales.

Mi pregunta es:

¿Alguien conoce integrales exclusivamente irracionales como $(1)$ y $(2)$ donde combinas varios irracionales diferentes en el resultado? Preferiblemente evitando integrales irracionales simples, disfrazadas o triviales como mis otros ejemplos.

Idealmente, me gustaría obtener resultados que combinen exclusivamente números irracionales (y también muy probable pero aún no probado que sean irracionales ) como $e,\,\pi$ , proporción áurea $\varphi ,\, \zeta(\text{Odd integer}),\,\ln(\text{Prime number}),\, \sqrt{\text{Prime number}}$ , constante de Euler-Mascheroni y constante de Catalan; Donde por "combinación" quiero decir que estos números se suman/multiplican/dividen/exponencian o son el argumento de una función trigonométrica, de una manera que no se simplifica a factores de números racionales, es decir, sin algo como $\ln\left(e^2\right)$ .

Alguna ayuda o sugerencia será muy apreciada. ¡Muchas gracias!

jose carlos santos

Creo que la etiqueta $ big-list es más relevante aquí que la integración o las etiquetas de matemáticas recreativas .

Azlif

Hmmm, es interesante, ¿cómo sabes que la constante de Euler-Mascheroni

γ

$\gamma$ es irracional?

Roberto Lee

@Azlif, ahhhhh, de hecho, mi ilusión apareció una vez más. Olvidé cuántos posibles candidatos no han demostrado ser irracionales. ! Gracias por los comentarios!

Zacky

\int_{0}^{\infty} Exp (- \frac{3 X^{2} + 15}{2 X^{2} + 18}) porque (\frac{2 X}{X^{2} + 9}) \frac{d X}{X^{2} + 1} = \frac{π}{mi}

$\int_0^\infty \exp\left(-\frac{3x^2+15}{2x^2+18}\right)\cos\left(\frac{2x}{x^2+9}\right)\frac{dx}{x^2+1}=\frac{\pi}{e}$

\int_{0}^{1} X^{- X} (1 - X)^{X - 1} pecado π X d X = \frac{π}{mi}

$\int_0^1 x^{-x}(1-x)^{x-1}\sin\pi x dx=\frac{\pi}{e}$

\int_{0}^{1} en (\frac{1 - X}{1 + X}) en (\frac{1 - X^{2}}{1 + X^{2}}) \frac{d X}{X} = π GRAMO

$\int_0^1 \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\ln\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\frac{dx}{x}=\pi G$

Roberto Lee

@Zacky, ¡gracias! Estos son exactamente el tipo de resultados que estaba buscando. ¿Podría publicar estas integrales como respuesta para que sean más visibles para las personas?

Zacky

La mayoría de ellos ya están publicados en este sitio, por eso los publiqué como comentario.

tonyk

Según Wikipedia , tampoco se sabe si la constante del catalán

G

$G$ es irracional

Setness ramesory

\int_{0}^{\infty} \frac{en (X)}{(X + 1) (X + 2) (π^{2} + {en}^{2} X)} d X = γ + Re [ψ^{(0)} (\frac{en 2}{2 π i})]

$\int_{0}^{\infty} \frac{\ln (x)}{(x+1)(x+2)(\pi^2+\ln^2x)} \text{d}x=\gamma+\text{Re}\left [ \psi^{(0)}\left (\frac{\ln 2}{2\pi i} \right ) \right ]$

Respuestas (4)

¿Ejemplos de integrales no triviales exclusivamente irracionales?

Creo que la etiqueta $ big-list es más relevante aquí que la integración o las etiquetas de matemáticas recreativas .
Hmmm, es interesante, ¿cómo sabes que la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ es irracional?
@Azlif, ahhhhh, de hecho, mi ilusión apareció una vez más. Olvidé cuántos posibles candidatos no han demostrado ser irracionales. ! Gracias por los comentarios!
$\int_{0}^{\infty} Exp (- \frac{3 X^{2} + 15}{2 X^{2} + 18}) porque (\frac{2 X}{X^{2} + 9}) \frac{d X}{X^{2} + 1} = \frac{π}{mi}$ $\int_0^\infty \exp\left(-\frac{3x^2+15}{2x^2+18}\right)\cos\left(\frac{2x}{x^2+9}\right)\frac{dx}{x^2+1}=\frac{\pi}{e}$ $\int_{0}^{1} X^{- X} (1 - X)^{X - 1} pecado π X d X = \frac{π}{mi}$ $\int_0^1 x^{-x}(1-x)^{x-1}\sin\pi x dx=\frac{\pi}{e}$ $\int_{0}^{1} en (\frac{1 - X}{1 + X}) en (\frac{1 - X^{2}}{1 + X^{2}}) \frac{d X}{X} = π GRAMO$ $\int_0^1 \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\ln\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\frac{dx}{x}=\pi G$
@Zacky, ¡gracias! Estos son exactamente el tipo de resultados que estaba buscando. ¿Podría publicar estas integrales como respuesta para que sean más visibles para las personas?
La mayoría de ellos ya están publicados en este sitio, por eso los publiqué como comentario.
Según Wikipedia , tampoco se sabe si la constante del catalán $G$ es irracional
$\int_{0}^{\infty} \frac{en (X)}{(X + 1) (X + 2) (π^{2} + {en}^{2} X)} d X = γ + Re [ψ^{(0)} (\frac{en 2}{2 π i})]$ $\int_{0}^{\infty} \frac{\ln (x)}{(x+1)(x+2)(\pi^2+\ln^2x)} \text{d}x=\gamma+\text{Re}\left [ \psi^{(0)}\left (\frac{\ln 2}{2\pi i} \right ) \right ]$

cuanto · Answer 1

cuanto

Este es de ninguna manera trivial

\int_{0}^{1} \frac{{arcán}^{2} X en \frac{X}{(1 - X)^{2}}}{X} d X = {GRAMO}^{2}

$\int_0^1 \frac{\arctan^2x\ln\frac{x}{(1-x)^2}}xdx=G^2$

Laxmi Narayan Bhandari

Obviamente. Esta es la primera vez que vi la constante catalana al cuadrado en el valor de una integral.

cuanto

@LaxmiNarayanBhandari: lo construí yo mismo.

cuanto

aquí hay algunos más sutiles

\begin{aligned} en \frac{2}{π} & = \int_{0}^{1} \frac{1 - X}{(1 + X) en X} d X \\ - γ π & = \int_{R} \frac{pecado X en | X |}{X} d X \\ \frac{π}{ϕ^{1 / 2}} & = \int_{0}^{π} \frac{{broncearse}^{- 1} (1 + porque X)}{1 + porque X} d X \end{aligned}

$\begin{align} \ln\frac2\pi &=\int_0^1 \frac{1-x}{(1+x)\ln x}dx\\ -\gamma \pi&= \int_{\mathbb R}\frac{\sin x\ln|x|}xdx\\ \frac\pi{\phi^{1/2}}&=\int_0^\pi \frac{\tan^{-1}(1+\cos x)}{1+\cos x}dx\\ \end{align}$

Laxmi Narayan Bhandari

DIOS MÍO. Ustedes construyen integrales. 😳

cuanto

@LaxmiNarayanBhandari: solo el

G^{2}

$G^2$ -integral. los tres anteriores son conocidos.

Roberto Lee

@Quanto, en caso de que desee compartir el método que usó para construir este resultado, comencé una recompensa en esta pregunta para obtener pruebas alternativas de este problema. ¡Tengo mucha curiosidad por saber cómo se llega a un resultado como este!

Roberto Lee · Answer 2

Mientras buscaba en este sitio las integrales que @Zacky publicó en los comentarios, encontré algunos resultados más:

De esta respuesta de Franklin Pezzuti Dyer

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} en (X^{2} + {en}^{2} (porque (X))) d X & = π en (en (2)) \end{aligned}$ $\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(x^2+\ln^2(\cos(x)))\, dx&=\pi\ln(\ln(2)) \end{align*}$

De esto y esta respuesta de Zacky (gracias de nuevo: D)

$\begin{aligned} \int_{R} \frac{pecado (X - \frac{1}{X})}{X + \frac{1}{X}} d X = \frac{π}{{mi}^{2}} \\ \int_{0}^{\frac{π}{2}} X en (cuna (\frac{X}{2}) {(\frac{segundo X}{2})}^{4}) d X = π GRAMO \end{aligned}$ $\begin{align*}\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin \left(x-\frac{1}{x}\right) }{x+\frac{1}{x}}\, dx=\frac{\pi}{e^2}\\ \int_0^\frac{\pi}{2} x\ln\left(\cot\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{\sec x}{2}\right)^4\right)\, dx=\pi G \end{align*}$

De esta respuesta de Felix Marin

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} en (1 + 4 {pecado}^{4} (X)) d X = π (en (φ + \sqrt{φ}) - en (2))$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(1+4\sin^4 (x)\right)\, dx = \pi \left(\ln \left( \varphi+\sqrt{\varphi} \right) - \ln(2)\right)$

De este hilo AOPS

$\int_{0}^{1} \frac{en ({en}^{2} (\frac{1}{X}))}{(1 + X)^{2}} d X = en (π) - en (2) - γ$ $\int_{0}^{1} \frac{\ln\left(\ln^2\left(\frac{1}{x} \right) \right)}{(1 + x)^2} \, dx = \ln(\pi) - \ln(2) - \gamma$

punto omega · Answer 3

Aquí están algunas $\pi$ encima $e$ variaciones sobre un tema. Obviamente hay una estrecha conexión entre cada una de las integrales.

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{pecado X}{X (1 + X^{2})} d X & = π - \frac{π}{mi}; \\ \int_{- \infty}^{\infty} \frac{X pecado X}{1 + X^{2}} d X & = \frac{π}{mi}; \\ \int_{- \infty}^{\infty} \frac{X pecado (2 X)}{(1 + X^{2})^{2}} d X & = \frac{π}{{mi}^{2}}; \\ \int_{0}^{\infty} \frac{porque (3 X)}{(1 + X^{2})^{2}} d X & = \frac{π}{{mi}^{3}}; \\ \int_{0}^{\infty} \frac{X pecado (4 X)}{(1 + X^{2})^{2}} d X & = \frac{π}{{mi}^{4}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \int_0^\infty \frac{\sin x}{x(1 + x^2)} dx &= \pi - \frac{\pi}{e};\cr \int_{-\infty}^\infty \frac{x \sin x}{1 + x^2} dx &= \frac{\pi}{e};\cr \int_{-\infty}^\infty \frac{x \sin (2x)}{(1 + x^2)^2} dx &= \frac{\pi}{e^2};\cr \int_0^\infty \frac{\cos (3x)}{(1 + x^2)^2} dx &= \frac{\pi}{e^3};\cr \int_0^\infty \frac{x\sin(4x)}{(1 + x^2)^2} dx &= \frac{\pi}{e^4}.\cr }$

Y para algo un poco diferente (y artificial, pero creo que aún dentro de los límites de sus requisitos):

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{bronceado (X^{4}) sech (X^{4})}{X} d X & = \frac{GRAMO}{π}; \\ \int_{0}^{\infty} \frac{bronceado (X^{7}) {sech}^{2} (X^{7})}{X} d X & = \frac{ζ (3)}{π^{2}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \int_0^\infty \frac{\tanh (x^4) \operatorname{sech} (x^4)}{x} dx &= \frac{G}{\pi};\cr \int_0^\infty \frac{\tanh (x^7) \operatorname{sech}^2(x^7)}{x} \, dx &= \frac{\zeta (3)}{\pi^2}. }$

Neptuno · Answer 4

Aunque hay algunos casos en los que una integral será "no trivialmente exclusivamente irracional" como usted dice, con suficiente manipulación, se podría demostrar que muchos de ellos están "disfrazados" (reglas trigonométricas, u-subs, etc.). de hecho, se puede conjeturar que se puede hacer un algoritmo para generar integrales iguales a una respuesta objetivo a través de la regla del producto, la regla de la cadena y varias identidades conocidas, después de lo cual se podría usar U-sub y el filtrado para obtener correctamente integrales que aparecen a simple vista como siendo "no trivialmente exclusivamente irracional".

También: $e$ y $\pi$ son tan irracionales como $\frac{e}{2}$ , de hecho, nuestro conocimiento sobre la posibilidad de irracionalidad de $e + \pi$ y $e\pi$ es solo un poco más que de $4\gamma$ posible irracionalidad de , un número que, por lo que sabemos, podría ser en sí mismo un múltiplo de $\ln(\zeta(3))$ .

Creo que una pregunta similar con requisitos que son un poco menos arbitrarios es: ¿Cuáles son algunos ejemplos de números irracionales o trascendentales que son períodos o números que son irracionales o trascendentales para $\Bbb{Q}[\pi]$ siendo "pseudoperíodos" (que permiten funciones trigonométricas en el integrando y $\pi$ en los límites)?

¿Ejemplos de integrales no triviales exclusivamente irracionales?

Roberto Lee

jose carlos santos

Azlif

Roberto Lee

Zacky

Roberto Lee

Zacky

tonyk

Setness ramesory

Respuestas (4)

cuanto

Laxmi Narayan Bhandari

cuanto

cuanto

Laxmi Narayan Bhandari

cuanto

Roberto Lee

Roberto Lee

punto omega

Neptuno

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