¿Longitud de arco a xxx de una hipérbola?

Quiero encontrar la relación entre la longitud del arco A de una función hiperbólica y su correspondiente ubicación horizontal a relativo a la y eje. En este caso: la longitud del arco es la entrada y a es la salida.

Para encontrar la longitud del arco A de una función F entre X = 0 y a , se utiliza la fórmula:

A ( a ) = ∫ 0 a 1 + ( d d X F ( X ) ) 2 d X

Sin embargo, al calcularlo para una función hiperbólica X 2 − 1 , la integral es no elemental.

A ( a ) = ∫ 0 a 1 + X 2 X 2 − 1 d X

Sin embargo, todavía quiero encontrar la relación inversa entre A y a (forma cerrada o no). es decir:

a ( A ) = ?

Respuestas (2)

Primero, tendrá que empezar a medir desde un lugar que no sea X = 0 porque la hipérbola no llega X = 0 . solo cubre ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞ ) . Sería un poco más limpio considerar X como una función de y . La rama positiva pasa por ( 1 , 0 ) y tiene una pendiente horizontal en lugar de vertical en el punto ( 1 , 0 ) . Ahora la función es X = 1 + y 2 Su longitud de arco se convierte en ∫ 0 a 1 + y 2 y 2 + 1 d y lo que Alpha puede hacer usando una integral elíptica de un seno hiperbólico.

Ah, claro, me olvidé de eso, en ese caso supongo que a partir de X = 1 sería el más limpio.
La pendiente vertical de la curva en X = 1 pone un cero en el denominador y hace que tu integral sea impropia. Por eso sugerí X = F ( y ) . La otra integral se puede hacer, pero también involucra funciones elípticas.
Ah, otro toque.

Para una parábola de dos hojas, la integral se simplifica a ∫ 1 + t a norte h 2 ( tu ) d tu , que Wolfram Alpha puede resolver, siendo la respuesta equivalente a la integral elíptica, pero no se necesitan números imaginarios y solo son constantes y funciones trigonométricas hiperbólicas.

No haga referencia a WolframAlpha en la respuesta; intente que sea independiente.
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