La integración implica derivada de la función delta

Question

La integración implica derivada de la función delta

Física
términos-límite
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
deberes-y-ejercicios
distribuciones-dirac-delta

Bowen Zhao

Esto aparece al calcular explícitamente la integral de trayectoria de los osciladores armónicos:

Primero tenga en cuenta que la segunda derivada funcional de la acción clásica es

\frac{d^{2} S [X]}{d X (t 1) d X (t 2)} = - metro (\frac{d^{2}}{d t_{1}^{2}} + ω^{2}) d (t_{1} - t_{2})

$\frac{\delta^2 S[x]}{\delta x(t1)\delta x(t2)}=-m(\frac{d^2}{d t_1^2}+\omega^2)\delta (t_1-t_2)$ Luego expande alrededor de la ruta clásica.

x_{c}

$x_c$ es

\begin{aligned} S [X_{C} + y] = S [X_{C}] + \frac{1}{2!} \int d t_{1} d t_{2} y (t_{1}) y (t_{2}) \frac{d^{2} S [X]}{d X (t 1) d X (t 2)} \\ = S [X_{C}] - \frac{metro}{2!} \int d t_{1} d t_{2} y (t_{1}) y (t_{2}) (\frac{d^{2}}{d t_{1}^{2}} + ω^{2}) d (t_{1} - t_{2}) \end{aligned}

$\begin{align*} S[x_c+y]=S[x_c]+\frac{1}{2!}\int dt_1\,dt_2 y(t_1)y(t_2)\frac{\delta^2 S[x]}{\delta x(t1)\delta x(t2)}\\ =S[x_c]-\frac{m}{2!}\int dt_1\,dt_2 y(t_1)y(t_2)(\frac{d^2}{d t_1^2}+\omega^2)\delta (t_1-t_2) \end{align*}$ Aplique la integración por partes a la parte de la función delta, obtuve

- \frac{metro}{2} \int d t_{1} y (t_{1}) \frac{d^{2}}{d (t_{1})^{2}} y (t_{1})

$-\frac{m}{2} \int dt_1 y(t_1)\frac{d^2}{d(t_1)^2}y(t_1)$ mientras el libro da

\frac{metro}{2} \int d t_{1} (\frac{d y (t_{1})}{d t_{1}})^{2} .

$\frac{m}{2}\int dt_1 (\frac{d y(t_1)}{dt_1})^2.$

¿Alguna sugerencia de lo que hice mal?

Respuestas (1)

La integración implica derivada de la función delta

AFG · Answer 1

Tu cálculo es correcto, con un paso más habrías obtenido el resultado del libro.

- \frac{metro}{2} \int d t_{1} y (t_{1}) \frac{d^{2} y (t_{1})}{d t_{1}^{2}} = - \frac{metro}{2} \int d t_{1} [\frac{d}{d t_{1}} (y (t_{1}) \frac{d y (t_{1})}{d t_{1}}) - (\frac{d y (t_{1})}{d t_{1}})^{2}] = = \frac{metro}{2} \int d t_{1} (\frac{d y (t_{1})}{d t_{1}})^{2}

$-\frac{m}{2}\int dt_1\,y(t_1)\frac{d^2y(t_1)}{d t_1^2}=-\frac{m}{2}\int dt_1\,\Bigg[\frac{d}{dt_1}\Bigg(y(t_1)\frac{dy(t_1)}{d t_1}\Bigg)-\Bigg(\frac{dy(t_1)}{dt_1}\Bigg)^2\Bigg]=\\=\frac{m}{2}\int dt_1\Bigg(\frac{dy(t_1)}{dt_1}\Bigg)^2$

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Bowen Zhao

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AFG

Bowen Zhao

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