La idea del método analítico de continuación para resolver la ecuación de Klein-Gordon, ¿cómo y por qué?

Para simplificar, consideremos una versión bidimensional de la ecuación de Klein-Gorden:

( ∂ t 2 − ∂ X 2 − ∂ y 2 + metro 2 ) GRAMO ( X → , t ) = − d ( X → ) d ( t )

De las publicaciones anteriores:

ambas respuestas sugieren la continuación analítica y, en especial, siguen la respuesta dada por @Sean Lake, podemos resolver esta ecuación simplemente mediante la continuación analítica a una ecuación familiar y luego volver a convertirla.

intento 1

Este es el esquema del procedimiento:

  1. dejar t → i z ′ , X → X ′ , y → y ′ , tenemos yo h s = − ( ∇ ′ 2 − metro 2 ) GRAMO , r h s = − d ( i z ′ ) d ( X ′ ) d ( y ′ ) = i d ( r → ′ ) . La ecuación ahora dice:

    ( ∇ ′ 2 − metro 2 ) GRAMO = − i d ( r → ′ )

  2. La ecuación anterior es la ecuación de Poission filtrada , la solución se puede obtener fácilmente como:

    GRAMO = i mi − metro r ′ 4 π r ′

  3. Convertir de nuevo usando z ′ → − i t , X ′ → X , y ′ → y , tenemos:

    GRAMO = i mi − metro X 2 + y 2 − t 2 4 π X 2 + y 2 − t 2
    por X 2 + y 2 > t 2 .

  4. cuando t 2 < X 2 + y 2 , podemos continuarla analíticamente hasta:

    GRAMO = mi − i metro t 2 − X 2 − y 2 4 π t 2 − X 2 − y 2
    donde hemos usado el − 1 = i .

Dos preguntas con respecto al procedimiento anterior:

pregunta 1 : ya que también podemos cambiar t → − i z ′ , la izquierda de la ecuación no cambia, mientras que la derecha de la ecuación tiene un signo menos adicional, porque: r h s = − d ( − i z ′ ) d ( X ′ ) d ( y ′ ) = − i d ( r → ′ ) , por lo tanto, la respuesta final difiere en un signo menos general.

pregunta 2 : en el paso 4, hemos usado que − 1 = i , pero ¿y si uso − 1 = − i , parece que conducirá a:

GRAMO = − mi i metro t 2 − X 2 − y 2 4 π t 2 − X 2 − y 2
cuando t 2 > X 2 + y 2 .

intento 2

el contorno:

  1. dejar t → z ′ , X → i X ′ , y → i y ′ , tenemos yo h s = ( ∇ ′ 2 + metro 2 ) GRAMO , r h s = − d ( z ′ ) d ( i X ′ ) d ( i y ′ ) = d ( r → ′ ) . La ecuación ahora dice:

    ( ∇ ′ 2 + metro 2 ) GRAMO = d ( r → ′ )

  2. la ecuación anterior es la ecuación de Helmholz , la solución es:

    GRAMO = − mi i metro r ′ 4 π r ′

  3. Convertir de nuevo, tenemos

    GRAMO = − mi i metro t 2 − X 2 − y 2 4 π t 2 − X 2 − y 2
    cuando X 2 + y 2 < t 2 .

  4. cuando X 2 + y 2 > t 2 , continuamos analíticamente los resultados, obtenemos:

    GRAMO = i mi i metro X 2 + y 2 − t 2 4 π X 2 + y 2 − t 2
    Hemos usado − 1 = i .

  5. si uso − 1 = − i , entonces cuando X 2 + y 2 > t 2 , tenemos:

    GRAMO = − i mi − i metro X 2 + y 2 − t 2 4 π X 2 + y 2 − t 2

el intento 2 tiene el mismo problema que el intento 1. Además, ¿los dos intentos son consistentes?

En resumen, estoy confundido acerca de la idea de continuación analítica aquí, mi pregunta es qué manera de hacerlo y por qué hacerlo. En mi punto de vista, la sustitución anterior no puede ser del todo correcta , debe haber algún punto que me perdí por la sustitución sin sentido de las variables.

De hecho, recuerdo que la solución a la ecuación de Helmholtz tiene dos soluciones, que son: GRAMO = − mi ± i metro r ′ 4 π r ′ , similar a la ecuación de Poisson filtrada, creo. Esto conduciría a más complicaciones (más resultados).

¿Has considerado la rotación de Wick? La continuación analítica en el intento 1 me parece muy similar a la rotación de Wick.
@flippiefanus Lo es, pero mi confusión es sobre los detalles sobre la continuación analítica. Las preguntas enumeradas y las preocupaciones. Por ejemplo, ¿el segundo intento es correcto? por qué no igual al primero. Por qué − 1 = i y − 1 = − 1 dar diferente resultado, cual elegir, etc...
Parte del problema podría ser el delta de Dirac con un argumento imaginario. ¿Qué sucede si uno expresa el delta de Dirac en términos de su transformada de Fourier y luego cambia la variable a un número imaginario? El resultado ya no parece dar un delta de Dirac.
Puede tener una función delta de Dirac que funcione con una rotación en coordenadas complejas, pero definitivamente no es analítica:
d ( X ) = límite σ → 0 1 σ 2 π Exp ⁡ ( − X ∗ X 2 σ 2 ) .
Tampoco escupiría un factor de i .

Respuestas (2)

Tengo la sensación de que su problema proviene de la forma en que elige una solución para la ecuación de Poisson. En su intento 1, afirma que la solución es

GRAMO = i mi − metro r ′ 4 π r ′
pero también podrías haber afirmado que es
GRAMO = i mi metro r ′ 4 π r ′
porque metro 2 = ( − metro ) 2 (la ecuación de Poisson ignora si elige metro o − metro ). La elección de la solución física está determinada por la condición de Sommerfeld, es decir, el comportamiento de la solución en el infinito. Una vez que esta elección se realiza de manera consistente a lo largo de su cálculo, debe deshacerse de cualquier contradicción. Tenga en cuenta que no emplearía la palabra "continuación analítica" al cambiar el signo de real r en r , siendo la función raíz cuadrada no analítica en 0 .

@buzhidao Un comentario sobre ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas: el espacio de soluciones es un espacio afín de dimensión del orden de la ecuación diferencial, aquí dos. Esto es en respuesta a uno de sus comentarios, pero no tengo permitido responderlo directamente, ya que no tengo suficiente reputación.

Tienes un error en el intento 1. Seamos explícitos en los pasos:

[ ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 + metro 2 ] GRAMO ( r , t ) = d ( t ) d ( r ) t → i z ′ ⇒ [ − ∂ 2 ∂ z ′ 2 − ∇ 2 + metro 2 ] GRAMO ( r , t ) = d ( i z ′ ) d ( r ) [ − ∇ ′ 2 + metro 2 ] GRAMO = d ( r ′ ) i [ ∇ ′ 2 − metro 2 ] GRAMO = i d ( r ′ )

Lo que esto hace es volver a poner la parte oscilante donde pertenece, dentro de los conos de luz hacia adelante y hacia atrás, dejando las partes amortiguadas exponencialmente en la región separada similar al espacio. Tenga en cuenta que,

mi − metro r 4 π r = 1 ( 2 π ) 3 / 2 metro r k 1 / 2 ( metro r ) ,
de acuerdo con la fórmula presentada en mi publicación.

Para el intento 2, en el que continúa analíticamente con las variables del espacio real, sí, la ecuación de Helmholtz tiene soluciones de onda tanto de entrada como de salida. En este caso, el problema se resuelve requiriendo que la función de Green llegue a cero como r → ∞ después de girar hacia atrás.

En ambos casos, debe encontrar que tiene exponenciales con argumentos reales cuando X 2 + y 2 > t 2 , y argumentos imaginarios en caso contrario. Si obtienes algo más es porque cometiste un error en el álgebra en alguna parte.

Mi intento 1 está bien, tenga en cuenta que tengo un signo menos en RHS.
Parece que no tienen sentido dos soluciones, que solo se oponen en signos , a la misma ecuación diferencial no homogénea .
Creo que podríamos estar cometiendo un error al no aplicar correctamente esta identidad:
d ( a X ) = d ( X ) | a | .
Aunque, entonces no tengo manera de explicar el factor de i en el propagador de Feynman . Independientemente de si ese valor absoluto cubre cuando a es complejo, sabemos que d ( − X ) = d ( X ) , por lo que no debería haber diferencia de signo. Me equivoqué ahí. Tendré que volver contigo, cuando tenga tiempo.
Para lo que quieras hacer, te recomiendo consultar la página 27 y siguientes de "Teoría cuántica de campos: de operadores a integrales de ruta" de Huang . Debería poder examinar la prueba basada en la transformada de Fourier en la vista previa gratuita.
La idea del método analítico de continuación para resolver la ecuación de Klein-Gordon, ¿cómo y por qué?
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