La gravedad de Einstein 2+12+12+1-dimensional es topológica y solo no trivial a nivel mundial

Comencemos con un ejemplo más simple:$1+1$gravedad dimensional. Este es en realidad un ejemplo bastante importante para entender porque toda la teoría de cuerdas tiene lugar en este marco. Dentro de$1+1$gravedad dimensional, al igual que en$2+1$dimensiones, no hay interacciones locales. Por lo tanto, parece un buen punto de partida para hablar de este tipo de cosas.

Si denotamos por$h$nuestro tensor métrico y por$R$la curvatura escalar de nuestra variedad$\mathcal{M}$, entonces podemos escribir

$$S=\frac{1}{2}\int_{\mathcal{M}}\mathrm{d}^2\sigma\,\sqrt{h}\,R,$$

donde aqui$h$denota el escalar$\det{h^{\alpha\beta}}$y$\sigma$es nuestra elección de coordenadas en parches abiertos de$\mathcal{M}$. Hay un hermoso teorema, conocido como el teorema de Gauss-Bonnet, que establece que esta integral se puede resolver sin el conocimiento de las coordenadas o la métrica. Se afirma que

$$\int_{\mathcal{M}}\mathrm{d}^2\sigma\,\sqrt{h}\,R=4\pi\chi(\mathcal{M}),$$

donde$\chi(\mathcal{M})$es la llamada característica de Euler de la variedad. Esta es una expresión puramente topológica . Intuitivamente, cuenta el número de "agujeros" en una variedad continua (es decir,$\chi(\mathcal{M})=2-2g$, donde$g$es el número de agujeros en la variedad; por ejemplo, un toro tiene un agujero, y también lo tiene$\chi=0$, mientras que una esfera no tiene agujeros y tiene$\chi=2$). Por lo tanto, dado que la acción en sí es independiente de las características locales de la variedad pero depende de las características globales (léase: topológicas), decimos que$1+1$la gravedad dimensional es localmente trivial pero globalmente no trivial.

La confusión puede ser causada por su (comprensible) pensamiento de que la gravedad se trata de fuerzas entre objetos. Pero en un sentido moderno, la gravedad es idéntica a la geometría . ¡Esto incluye declaraciones topológicas y locales! Estamos acostumbrados a hablar de la gravedad como algo local porque el tratamiento estándar de GR es local. ¡Pero la gravedad determina la topología de nuestra variedad así como la geometría local!

Todo esto está muy bien, pero ¿por qué nos importa? Bien en$1+1$gravedad cuántica dimensional (léase: teoría de cuerdas), ¡la topología juega un papel importante! Esto se debe a que el tratamiento integral del camino, tenemos (en una firma euclidiana),

$$\langle\mathcal{O}(\phi)\rangle=\sum_{\text{g=0}}^{\infty}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}h\,\mathcal{O}(\phi)\,e^{-S[\phi,h]},$$

donde$\phi$es un marcador de posición para todos los campos que se propagan en el colector,$\mathcal{O}$es alguna función operadora de nuestros campos, y

$$S[\phi,h]=\int\mathrm{d}^2\sigma\sqrt{h}\left(-\frac{\lambda}{8\pi}R+\mathcal{L}(\phi,h)\right),$$

donde$\lambda$es una constante de acoplamiento efectiva y$\mathcal{L}(\phi,h)$es el Lagrangiano que define la interacción gravitatoria de los campos$\phi$. la suma termina$g$indica que estamos sumando todas las topologías posibles de la teoría contando el género. Usando el teorema de Gauss-Bonnet, podemos escribir inmediatamente

$$\langle\mathcal{O}(\phi)\rangle=\sum_{g=0}^{\infty}e^{\lambda(1-g)}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{O}(\phi)\,e^{-S_g[\phi]}.$$

Asumiendo$\lambda$es positivo, esto nos dice que esencialmente podemos tratar los valores esperados como expansiones perturbativas en posibles topologías de nuestra variedad.

Aunque en realidad no hablé de$2+1$gravedad dimensional, la conclusión básica debería ser esta:

• Tiempo$2+1$la gravedad no tiene grados de libertad locales, la topología sigue siendo una propiedad geométrica de la variedad de espacio-tiempo$\mathcal{M}$, y por lo tanto sigue siendo importante y no trivial.

• Las no trivialidades globales pueden desempeñar un papel importante en la versión cuántica de la teoría gravitacional en la que está trabajando.

Finalmente, para responder a su pregunta en una oración (como si no hubiera balbuceado lo suficiente):$2+1$la gravedad dimensional de Einstein se llama "topológica" porque sus únicas no trivialidades posibles (vacío) son todas de naturaleza topológica.

[Nota: en todo momento asumí una teoría gravitacional del vacío o "pura". Einstien gravedad en$2+1$dimensiones con masas puntuales es realmente muy interesante y tiene la misma geometría que un cono. Esto puede conducir a algunos resultados muy interesantes y poco intuitivos, el más famoso de los cuales es la máquina del tiempo de Gott (vale la pena leerlo).]

¡Espero que esto haya ayudado!

La respuesta de Bob Knighton es muy detallada. Pero quiero añadir algunas observaciones. Puedes intentar probar esta identidad.

$$R_{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{R}{D(D-1)} (g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}).$$

Entonces, es sencillo mostrar que para 1+1 espacio-tiempo, el tensor de Einstein$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$es idénticamente cero . Es decir, la ecuación de campo de Einstein del vacío se cumple de manera trivial, sin importar cuánto contenido de materia le pongas. Esto significa que no hay acoplamiento entre la gravedad y la materia.

Consecuencias similares también ocurren en el caso 2+1. De hecho, la gente creía que la gravedad 2+1 era tan trivial como la gravedad 1+1. Sin embargo, alrededor de 1990, se descubrió que en presencia de una constante cosmológica negativa, la gravedad 2+1 es un tema rico (hay soluciones de agujeros negros BTZ, etc.).