¿Emergen nuevos efectos gravitatorios en dimensiones superiores?

I) Para empezar, para GR de mayor dimensión con$n\geq 5$dimensiones del espacio-tiempo, un horizonte de eventos (que siempre tiene codimensión 2) no necesita ser homotópico a una esfera$S^{n-2}$. Por ejemplo, para$n=5$, también hay anillos negros .

II) Por otro lado, GR de baja dimensión con$n\leq 3$dimensiones del espacio-tiempo

• tiene un tensor de curvatura de Weyl idénticamente cero ;

• es una teoría de campo topológica sin campos de propagación físicos locales, es decir, sin ondas gravitatorias.

Una forma física de ver que no hay ondas gravitacionales en la dimensión del espacio-tiempo$d~=~3$es con los grados de libertad de una onda. Un campo electromagnético o de otro calibre tiene un$\vec E$y campo magnético$\vec B$. En una región sin fuente Estos campos son ortogonales en una onda de campo electromagnético o calibre. Sin embargo, si solo tiene dos dimensiones espaciales, no tiene suficientes dimensiones para que la onda se propague. La antigua regla de la mano derecha para el$\vec E$y$\vec B$campos y la dirección o propagación$\vec k$significa que tiene un número insuficiente de dimensiones espaciales para las ondas. Esto significa que tiene configuraciones de campo estáticas, que es una teoría de campo topológica.

Se extiende también a las ondas gravitacionales que requieren en un campo débil limitar los elementos métricos perturbadores.$h_{++}$y$h_{\times\times}$para dos direcciones de polarización. Esto significa que tiene tensores de campo sin rastro$E_{ij}$y$B_{ij}$para los análogos eléctricos y magnéticos del campo gravitatorio en la variedad espacial incrustada en el espacio-tiempo. Nuevamente, si solo tiene dos dimensiones espaciales, "se queda sin dimensiones" para la propagación de ondas. Esto se manifiesta más matemáticamente en la desaparición del tensor de Weyl. Sin embargo, existe un tensor paralelo con estructura conforme llamado tensor Cotton . El tensor de Weyl define las propiedades conformes del espacio-tiempo, y el tensor de Cotton hace lo mismo para los espacio-tiempos de menor dimensión.

Para dimensiones superiores a$4$podemos pensar en los agujeros negros con la teoría de Gauss en un entorno newtoniano. Si tenemos alguna superficie espacial$\Sigma^n$con dimensión$n$mayor que$2$el campo gravitacional dentro de una superficie gaussiana$S$que encierra una región$V~\subset~\Sigma^n$tenemos

Hay montones y montones de cosas cualitativamente nuevas que emergen en dimensiones superiores. Como menciona QMechanic, los horizontes de eventos no necesitan ser topológicamente esféricos. También se sabe que las condiciones iniciales genéricas pueden conducir a singularidades desnudas, por lo que falla la hipótesis de la censura cósmica. Creo que los agujeros negros con cabello también existen en dimensiones superiores.