Gravedad cuántica ingenua

Question

Gravedad cuántica ingenua

Sebby

Mi pregunta implica una analogía que debo señalar. Considere la densidad lagrangiana para un campo escalar complejo:

L = \frac{1}{2} \partial_{m} ϕ^{†} \partial^{m} ϕ - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{†} ϕ

$\begin{equation} \mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi^{\dagger}\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^{2}\phi^{\dagger}\phi \end{equation}$ que es invariante bajo la transformación de calibre global

ϕ \to {mi}^{i α} ϕ .

$\phi \rightarrow e^{i\alpha}\phi.$ La corriente 4 sin divergencia es

j = (ρ, \underline{j})

$j=(\rho,\underline{j})$ y la cantidad conservada asociada es la carga eléctrica. Esto ilustra un mundo

U (1)

$U(1)$ simetría. Para ver la analogía, ahora miramos las traducciones del espacio-tiempo.

x \to x + a

$x \rightarrow x + a$ que dan

ϕ (X) \to ϕ (X + a) = {mi}^{a^{m} \partial_{m}} ϕ .

$\phi(x) \rightarrow \phi(x+a) = e^{a^{\mu}\partial_{\mu}}\phi.$ El Lagrangiano ya no es invariante sino la acción:

S = \int L d^{4} X

$\begin{equation} S = \int \mathcal{L} d^{4}x \end{equation}$ es invariante debido a la invariancia de traslación de la medida de Lebesgue. La corriente de Noether es el tensor tensión-energía

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ y la cantidad conservada es el 4-momentum. Debido al papel jugado por

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ en las ecuaciones de campo de Einstein podemos decir que el 4-momentum juega el papel de carga gravitatoria.

Promoviendo la simetría global U(1) a una pareja local $\phi$ al campo electromagnético. Esto implica modificar el Lagrangiano introduciendo una derivada covariante y agregando el Lagrangiano para el campo EM. Mi pregunta es: ¿la promoción de la invariancia de traducción global de S a una local da el acoplamiento correcto de $\phi$ al campo de gravitones? Una acción invariante bajo transformaciones generales de coordenadas es:

S = \int L \sqrt{- gramo} d^{4} X

$\begin{equation} S = \int \mathcal{L} \sqrt{- g}d^{4}x \end{equation}$ dónde

L

$\mathcal{L}$ también debe modificarse adecuadamente y

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ es la métrica. Reformulo y extiendo mi pregunta:

(1) ¿Las transformaciones de coordenadas generales incluyen traducciones locales? $x \rightarrow x + a(x)$ o son solo $SO(1,3)$ transformaciones tipo calibre?

(2) En vista de la analogía anterior, el grupo de calibre para la gravedad es el grupo de traducción en el espacio-tiempo de Minkowski. El grupo no es compacto. ¿No debería ser compacto el grupo para garantizar un término cinético definido positivo para los gravitones?

(3) El grupo de traducción también es abeliano. ¿No es esto inconsistente con el hecho de que los gravitones interactúan entre sí?

(4) En esencia, lo que estoy diciendo es que la teoría clásica de la gravedad probablemente esté incompleta. ¿Hay algún enfoque de la gravedad que modifique el espacio-tiempo subyacente de modo que el grupo de isometría del nuevo espacio admita una versión compacta del grupo de traducción del espacio-tiempo de Minkowski? Tal vez el universo después de la formación era compacto, pero debido a la expansión, la naturaleza compacta ahora está oculta.

(5) Relacionado con (4). ¿No deberían las partículas elementales corresponder a representaciones irreducibles del grupo de isometría del universo? Si el universo es Minkowski, entonces el grupo de isometría es el grupo de Poincaré. ¿Se han explorado otras posibilidades en este sentido?

(6) En c = h = 1 unidades, la constante G de Newton tiene dimensión de masa -2. La constante de estructura fina viene dada por:

α = \frac{{mi}^{2}}{4 π ϵ_{0}}

$\alpha = \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}$ En gravitoelectromagnetismo tenemos la correspondencia

G \leftrightarrow \frac{1}{4 π ϵ_{0}}

$G \leftrightarrow \cfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}$ . como el impulso

p

$p$ juega el papel de la carga gravitacional, ¿no debería estar dada la constante de acoplamiento a la gravedad por

gramo \sim {pag}^{2} GRAMO = {metro}^{2} GRAMO

$g \sim p^{2} G = m^{2} G$ dónde

m

$m$ Cuál es la masa de la partícula en cuestión?

g

$g$ entonces es adimensional. ¿Esto implica que la derivada covariante para acoplar la materia a la gravedad está dada por algo como

D_{μ} = \partial_{μ} - p^{ν} A_{μ ν}

$D_{\mu} = \partial_{\mu} - p^{\nu} A_{\mu\nu}$ ? dónde

A_{μ ν}

$A_{\mu\nu}$ es un potencial tensor relacionado con

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ .

(7) Las ideas anteriores podrían implicar algo sobre los bosones de espín 0 y su renormalización de masa. ¿Alguna idea? ¿Podría el $\Lambda^{2}$ dependencia de $m^{2}$ ser solo una indicación de que se ignoró la gravedad?

Respuestas (1)

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Motl de Luboš · Answer 1

Sí, la promoción de las traslaciones del espacio-tiempo a un grupo local (y por razones de teoría de grupos, debe ser el grupo de todas las transformaciones de coordenadas, es decir, los difeomorfismos) produce una teoría de la gravedad consistente con el tensor métrico correctamente acoplado, incluido el no lineal (automorfismo). -interacción) términos que aparecen porque los difeomorfismos forman un grupo no abeliano.

Son solo los difeomorfismos $x\to x+a(x)$ que están vinculados a la existencia del "campo de medida" gravitacional real, la métrica. Una descripción de la gravedad también puede tener la simetría local de Lorentz $SO(3,1)$ actuando sobre "vielbeins", etc., pero esta simetría de calibre adicional no es lo que produce la fuerza gravitatoria. Es solo una conveniencia que es útil y / o necesaria para acoplar la teoría gravitacional a espinores y tipos similares de campos.
No, el grupo de traducción no tiene que ser compacto y en el espacio de Minkowski no es compacto. De hecho, la forma bilineal natural en el álgebra de Lie es indefinida. Esto no produce ningún estado de norma negativa en el multiplete de gravitones porque todos los componentes $g_{0i}$ se vuelven afísicos por la simetría de calibre, por los difeomorfismos. Además, efectivamente no hay problemas con la falta de compacidad porque la acción para el campo de calibre comienza con las segundas derivadas en el escalar de Ricci. $R$ . La gravedad no es un caso especial de la teoría de Yang-Mills en general porque las traslaciones no son un grupo de Yang-Mills. Los grupos de Yang-Mills actúan en puntos individuales pero los difeomorfismos mezclan los puntos. Ambos son grupos locales pero no son lo mismo, por lo que las reglas son diferentes.
Las autointeracciones ocurren porque el grupo de difeomorfismo no es abeliano. En el caso de Yang-Mills, los puntos están aislados de otros puntos, por lo que todo el grupo de calibre no es abeliano si el grupo en un punto lo es. Pero esta relación no es cierta en el caso de los difeomorfismos. El grupo de traducciones por punto es abeliano, pero no todo el grupo de indicadores.
No, la teoría clásica de la gravedad no está incompleta y no hay razón para "exigir" un grupo compacto de simetrías por punto.
Sí, pero la afirmación es vacía. El Universo no tiene que tener isometrías, pero las partículas elementales aún pueden existir. Sí, generalmente vendrían en "múltiples unidimensionales", pero eso no significa que no pueda haber otra forma de organizarlos.
Sí, la constante de acoplamiento gravitacional adimensional es $O(GMm)$ en el mismo sentido en que podemos decir que es $O(Qq/4\pi\epsilon_0)$ en electromagnetismo. Se puede suponer que las cargas adimensionales son de orden uno, pero eso no es cierto para las masas. Tu fórmula para la derivada covariante es incorrecta. La derivada covariante en la "teoría de calibre" llamada gravedad es la derivada covariante habitual en la relatividad general. No es del tipo de Yang-Mills porque la gravedad no es una teoría de Yang-Mills (una simple subclase de teorías con simetrías locales).
La gravedad solo "intrínsecamente" dice algo sobre las partículas de espín-2. Todo lo demás es simplemente "materia" y su giro es irrelevante. Las correcciones a la masa de Higgs, etc. son divergentes debido a contribuciones no gravitatorias. Se han hecho intentos para modificar la gravedad tanto que la divergencia desaparece, pero todos estos intentos son inconsistentes o contradicen el principio de equivalencia.

Gracias por la respuesta. Las cosas parecen bastante claras, pero tengo algunas preguntas más: ¿No es posible incorporar la relatividad general en una teoría del tipo de Yang-Mills? ¿No ayudaría esto con la cuantificación? En esta línea de pensamiento, la naturaleza no abeliana del grupo de difeomorfismo se derivaría de algún tipo generalizado de grupo de calibre no abeliano. ¿O la teoría de Yang-Mills está estrictamente limitada para aplicarse a las partículas de espín 1 y no es probable que haya generalizaciones significativas?
@Sebby ¿Conoces el teorema de Coleman Mandula y sus lagunas supersimétricas?
Sí, pero no demasiado, según tengo entendido, está cambiando el espacio-tiempo subyacente al agregar las dimensiones theta. Si el espacio se cambia de una manera menos radical, ¿no cambiaría el grupo de isometría y no se aplicaría necesariamente el teorema de Coleman-Mandula? En realidad, el tipo de generalización que tengo en mente debería abstraerse del espacio-tiempo subyacente de alguna manera.
Estimado @Sebby, ya lo escribí unas 3 veces en la respuesta, pero la relatividad general (en general) simplemente no es equivalente a ninguna teoría del tipo Yang-Mills en la misma cantidad. Puede tener correspondencia AdS/CFT, etc., en la que la gravedad en general es equivalente, a través de una equivalencia muy no trivial, a una teoría de calibre en un espacio de menor dimensión (límite). Pero la simetría de Yang-Mills actúa sobre puntos individualmente mientras que los difeomorfismos mezclan puntos entre sí. Son solo simetrías cualitativamente diferentes. Esto también se refleja en el hecho de que el gravitón tiene bosones de espín 2 y calibre 1.
La teoría de Yang-Mills significa que el campo de calibre es un campo de espín uno. Si es un campo de espín dos, como el tensor métrico, simplemente no se llama teoría de Yang-Mills. La gravedad es una "generalización" de una teoría de calibre, pero la palabra "generalización" es realmente necesaria y significa que la gravedad no obedece las reglas y condiciones originales de la teoría de Yang-Mills ordinaria y no generalizada. Francamente, espero sinceramente no tener que escribir este simple hecho por quinta vez otra vez: parece que no estás escuchando en absoluto.
Perdón por insistir así pero era más una cuestión de esperanza que otra cosa.

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Sebby

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twistor59

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