La función Gamma y la función Pi

He estado estudiando ecuaciones diferenciales, en particular funciones especiales.

La función Gamma de Euler y la función Pi de Gauss son esencialmente las mismas, y solo difieren en una compensación de una unidad.

para z ∈ C , R ( z ) > 0

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ X z − 1 mi − X d X

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ X z mi − X d X

Ambos amplían la noción del factorial (que solo se define para números enteros positivos).

Γ ( z + 1 ) = Π ( z ) = z ! , z ∈ Z ≥ 0

La función Pi parece ser un análogo más natural del factorial (no introduce el desplazamiento de la unidad). Mi libro de texto usa exclusivamente la función Gamma y no menciona la función Pi en absoluto. Me preguntaba si hay alguna buena razón para centrarse en la función Gamma (presumiblemente simplifica algunos cálculos más adelante).

La mejor razón que se me ocurre por mi cuenta es que para las transformadas de Laplace

L { t r } = Π ( r ) s r + 1 = Γ ( r + 1 ) s r + 1 , r ≥ − 1 ∈ R
El uso de la función Gamma aquí conserva algo de simetría. No estoy seguro de si esta es la razón o si hay algunas sutilezas que me faltan por completo.

Respuestas (2)

Como mencionas la transformada de Laplace, en su forma actual Γ ( s ) es la transformada de Mellin de mi − X .

Aquí hay otra razón que es quizás la más convincente. La medida de Haar de un subconjunto S ⊂ R × del grupo multiplicativo de los números reales es ∫ X ∈ S d t t , entonces la medida d t t sobre la línea real es natural. La función Gamma es un análogo de una suma de Gauss y es la integral de la función multiplicativa X s contra la función aditiva mi − X sobre la medida del grupo.

Este problema se planteó en Math Overflow y recibió una gran cantidad de votos positivos allí. Eche un vistazo a las respuestas que aparecen en este hilo: https://mathoverflow.net/questions/20960/why-is-the-gamma-function-shifted-from-the-factorial-by-1

No puedo entender la mayor parte de la información en esa página, . . . algo que ver con la elección de la ubicación de polos complejos. ¿Cuidado para elaborar?
Todavía estoy en el proceso de completar un segundo año en la universidad y no he tocado cosas como: la transformación de Mellin; medida de haar; suma de Gauss. Entonces, decir que no puedo comprender correctamente su respuesta es una subestimación masiva. He revisado las páginas wiki sobre tales cosas, pero estas han resultado igual de confusas/más allá de mi nivel. Sigo agradeciendo tu respuesta y la he aceptado porque no tengo motivos para dudar. Un día entenderé estos conceptos y volveré a leer tu publicación y entonces tendrá más sentido para mí.
@UnkleRhaukus, "medida Haar" solo significa que ∫ 0 ∞ F ( t ) d t t no cambia con el cambio de variables t → C ⋅ t con C > 0 , eso es, ∫ 0 ∞ F ( C t ) d ( C t ) ( C t ) = ∫ 0 ∞ F ( t ) d t t . Esa es una razón para mantener la división por t con el d t , en lugar de tener t s − 1 en la definición integral Γ ( s ) . La "transformada de Mellin" es solo una transformada de Fourier en diferentes coordenadas, etc. A menudo, la terminología es más elegante que las matemáticas subyacentes.
@ElementsinSpace Estoy en la misma posición en la que estabas el año pasado, ahora mismo :) ¿Tienes, por casualidad, una explicación simple/elemental de esas ideas que tendría sentido para alguien que no ha estudiado las medidas de Haar? Si es así, por favor hágamelo saber, estoy pensando en hacer una pregunta sobre estos temas. ¡Salud! (Y me doy cuenta de que esta publicación es muy antigua, lo siento)

Este tema se trata en el libro The Gamma Function de James Bonnar. El Π ( z ) = z ! La notación se debe a Gauss y, a veces, se encuentra en la literatura más antigua. la notación Γ ( z + 1 ) = z ! se debe a Legendre. No parece conocerse la motivación de Legendre para la normalización. Cornelius Lanczos lo llamó "desprovisto de cualquier racionalidad" y en su lugar usaría z ! . La fórmula de Legendre simplifica algunas fórmulas, pero complica la mayoría de las demás.

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