¿Por qué se tolera el 'abuso de la notación'?

Personalmente, me tropecé con algunos conceptos que se redujeron a un abuso de la notación, y he leído mucho más sobre el intercambio de pilas. Parece que todo se perdona con un movimiento de la mano. ¿Por qué lo toleramos en absoluto?

Entiendo si más adelante en los estudios de uno se supone que las cosas están en su lugar, pero hay muchos libros de texto que asumen que ciertas cosas se saben antes de enseñarlas. Esta es una pregunta muy suave, pero creo que debería hacerse.

Tal vez pueda explicar cómo define el "abuso de la notación": ¿es cuando se introduce la notación, pero no se explica o define (es decir, se supone que se entiende)? ¿o quiere decir cuando se usa notación no convencional en lugar de lo que es estándar? O ambos. Los ejemplos ayudarían.
A veces, la buena notación no existe; Incluso he oído decir que, en algunos casos, el simple hecho de encontrar una buena notación para algo puede ser un avance matemático importante. Por desgracia, no puedo encontrar una referencia.
@Hurkyl Tal vez esto: "La invención del símbolo ≡ por Gauss ofrece un ejemplo sorprendente de las ventajas que pueden derivarse de una notación adecuada, y marca una época en el desarrollo de la ciencia de la aritmética"? (GB Matthews en "Teoría de los números", 1892)
¡Lo aceptamos porque nadie es una notación-Lincoln para liberar la notación del horrible contexto en el que viven que nos permite abusar de ella sin fin para nuestro gran placer!
Un abuso que ofusca, no sirve a nadie y debe ser erradicado de inmediato es el uso atroz de L { F ( t ) } para la transformada de Laplace. Solo escribe L F .
Oh, recuerdo cómo en mi primer año estaba tomando notas en conferencias relacionadas con las matemáticas y estaba tratando de purificar las matemáticas para que no tuviera palabras, excepto títulos, nombres y algunos comentarios menores, y debería ser lo más compacto posible. Ahora puedo hacer una prueba de teorema de 10 páginas en una página para poder ver una imagen completa con solo un vistazo, ayuda mucho.
@copper.hat De acuerdo, pero luego necesitamos reescribir las tablas de transformaciones para que tengan L { t ↦ pecado ⁡ t } en lugar de L { pecado ⁡ t } etc.
@PavelM: O simplemente L { pecado } :-). Está demasiado arraigado para cambiar, pero si tuviera que elegir un abuso notacional con el que he visto tropezar a los estudiantes, es la distinción (o falta de ella) entre una función y su evaluación.
@copper.hat Genial, pero no funcionaría para L { 1 / ( t 2 + 1 ) } . Sí, a lo largo de la secuencia de cálculo/ecuaciones diferenciales, los estudiantes se ven frenados por una comprensión insuficiente del concepto de función . Tener una notación que combine funciones y expresiones algebraicas no ayuda. Tal vez aquí es donde los sistemas de álgebra computacional podrían ayudar, porque son menos tolerantes al abuso de la notación. En Maple, y:=x^2 e y:=x->x^2 son cosas diferentes.
@Korgan He estado en el mismo barco que usted y he tratado de usar una notación completamente correcta y bien definida el mayor tiempo posible. Créame, en un curso tan simple como el análisis básico, no pude avanzar mucho más allá de 6-7 secciones sin tener que escribir cosas demasiado tediosas. En cambio, me rendí y adopté las notaciones sueltas.
Tenga en cuenta que diferentes personas tienen diferentes niveles de tolerancia a los abusos de notación. Por ejemplo, soy fanático de dejar de lado el dominio de la cuantificación, pero incluir el cuantificador. Ej. escribir ∀ X . pecado 2 ⁡ ( X ) + porque 2 ⁡ ( X ) = 1 (ligeramente abusivo) en el sentido de que ∀ X ∈ R . pecado 2 ⁡ ( X ) + porque 2 ⁡ ( X ) = 1 (formal), que a menudo solo se escribe pecado 2 ⁡ ( X ) + porque 2 ⁡ ( X ) = 1 (máximamente abusivo).
Ja. Solo escribe pecado 2 + porque 2 = 1 .
Me recuerda a esta respuesta: math.stackexchange.com/questions/1093696/…

Respuestas (10)

Dudo que pueda expresarlo mejor que esto:

"El estudiante de matemáticas tiene que desarrollar tolerancia a la ambigüedad. La pedantería puede ser enemiga de la perspicacia". -Gila Hanna

También recomiendo encarecidamente el artículo de Terence Tao que describe las etapas "pre-rigurosas", "rigurosas" y "post-rigurosas" del desarrollo de un matemático.

Interesante. ¿Es así como te enseñan en los Estados Unidos? No puedo recordar la era "pre-rigurosa" en mis estudios universitarios. Podría sugerir la escuela secundaria, pero eso no cuenta (especialmente cuando tienes tres años en el ejército y aproximadamente uno o dos años más antes de regresar a la academia). Simplemente llevamos a los niños a la era rigurosa. Es divertido y doloroso para la mayoría. Recuerdo que me gustaba mucho como estudiante de primer año. El problema es que, a menudo, la era posrigurosa se introduce (aquí) demasiado pronto... por lo que es otro trauma para la mayoría de los estudiantes.
@AsafKaragila: Prácticamente todas las formas de matemáticas "orientadas al cálculo" son en realidad formas pre-rigurosas de la disciplina matemática real. La confusión surge porque a) tendemos a darles nombres diferentes yb) muchos más estudiantes aprenden las versiones pre-rigurosas que nunca aprenden la verdadera disciplina. Por ejemplo, todos los niños en edad escolar aprenden aritmética, pero solo unos pocos aprenderán teoría de números. Del mismo modo, la mayoría de los estudiantes universitarios de ciencias aprenden cálculo avanzado, pero es probable que solo los estudiantes de matemáticas tomen análisis real y complejo. Y las "pruebas" en estas formas anteriores son en realidad solo derivaciones.
@RBarry: Obviamente, la mayoría de la gente aprende cálculos y matemáticas pre-rigurosas. Ese no era mi punto. Señalé que como estudiante universitario de matemáticas nunca conocí esa matemática pre-rigurosa, y que la etapa post-rigurosa llegó demasiado pronto para mi gusto (¡y no soy fanático del rigor!). Estaba preguntando si los estudiantes universitarios de matemáticas en los EE. UU. tienen una parte pre-rigurosa en su viaje académico. Se podría hacer la misma comparación con la cocina: "etapa de calentar y comer" frente a "etapa de receta" frente a "etapa de cocina creativa". Perdiste mi punto por mucho.
@AsafKaragila: Esa es la pregunta que estaba respondiendo. Si tenías Cálculo en la universidad, entonces tenías el curso pre-riguroso. En los EE. UU., prácticamente todos los estudiantes universitarios de matemáticas lo hacen (los estudiantes de matemáticas son un subconjunto de los estudiantes de ciencias). Es solo después de que tienen Cálculo que normalmente serían elegibles para Análisis real y complejo. Por lo general, no se fomenta el post-rigor hasta finales de la escuela de posgrado.
@RBary: Ah. Veo. Gracias. No puedo decir que la parte posterior al rigor de mi pregrado fuera tan posterior al rigor como mi proceso actual, pero hubo una caída notable en el rigor que se requería en muchos de los cursos avanzados de pregrado. De cualquier manera, estoy aún más feliz de haber hecho mi carrera aquí, no tengo intuición geométrica y los cálculos previos al rigor me habrían dejado fuera de la carrera. :-)
@AsafKaragila Creo que el malentendido es que en los EE. UU., los cursos llamados "cálculo" esencialmente equivalen a análisis sin pruebas, y cómo hacer cálculos. Sé que en Alemania, y quizás también en otros países europeos y en Israel, no existen cursos de "cálculo": todo se enseña rigurosamente con demostraciones y se llama "análisis", desde el primer año. Mi primer año de universidad tuve que tomar cálculo multivariable, que fue más o menos sin demostraciones o un rigor sustancial. Solo durante mi segundo año de curso de análisis comenzaron a aparecer el rigor y las demostraciones.

Cuando uno escribe/habla de matemáticas, en el 99,99 % de los casos, el destinatario de lo que escribe es un ser humano, y los humanos son máquinas asombrosas: son capaces de usar el contexto, adivinar y todo tipo de información al decodificar lo que escribimos. /decir. Por lo general, es inmensamente más eficiente aprovechar esto.

Estoy de acuerdo, pero cuando se enseña un nuevo concepto a un estudiante, donde no hay contexto en la mente del estudiante, entonces es absurdo aferrarse a este hábito.
Crea el contexto y luego abusa de él. Es subestimar a los estudiantes al suponer que no serán capaces de lidiar con pequeños abusos de notación y lenguaje. Por supuesto, uno tiene que ser explícito sobre lo que va a abusar. ¡Pero imagine un curso de álgebra lineal que use notación para distinguir los ceros de diferentes espacios vectoriales!
@Mariano: Me acabas de dar un flashback del primer curso de álgebra lineal que tomé, en el que el texto hizo estas distinciones. Una de las identidades enumeradas en la portada interior del texto era L ( 0 V ) = 0 W . ("El amor es igual a ow").
@Mariano: Los gustos varían. En un curso introductorio de álgebra lineal, normalmente suscribo los ceros para indicar sus respectivos espacios hasta que estamos bien avanzados en el curso, y soy igualmente cuidadoso en la introducción. Cursos de álgebra abstracta. Me parece que reduce la confusión significativamente.
+1 Bien dicho. La formalidad extrema me hace sobre todo sospechoso.
@BrianM.Scott, creo que para definiciones/argumentos abstractos (por ejemplo, álgebra lineal sin coordenadas), se deben distinguir los símbolos constantes de diferentes estructuras algebraicas. P.ej 0 V versus 0 W . Por otro lado, los símbolos de función de diferentes estructuras algebraicas no necesitan ser distinguidos explícitamente (porque su tipo es más fácil de inferir y porque, admitámoslo, + V no se ve muy bien). Diría lo mismo para el caso concreto, excepto que 0 R norte es una monstruosidad...
@goblin ¿por qué es el tipo de + más fácil de inferir que el tipo de 0 en cualquier expresión compuesta que contenga 0? O preguntado de otra manera: ¿conoce una expresión que contenga 0, donde uno no puede inferir su tipo, pero aún sería relevante conocer su tipo para dar sentido a la expresión?
Cuando en un semestre completo usas algunas notaciones abusadas, no creo que sea una buena idea. No estoy hablando de investigación, sino de educación matemática. Los humanos son capaces, sí, pero no todos pueden aprender rápido. "Hago lo que hago, tú no sabes lo que hago". Si está enseñando o supervisando a sus estudiantes en la investigación, entonces puede hacerlo. Sin embargo, en el entorno de aprendizaje, mejor evitarlo. El subrayado es: será más claro para algunos, y si algunos lo entienden, abusarán ellos mismos. Como muchos han señalado, es subjetivo. Con tantos disertantes con gustos diferentes, deja de dar quebraderos de cabeza.
Para los estudiantes "inteligentes" o rápidos, probablemente cantarán "El abuso notacional hace que todo sea más fácil y rápido de entender", pero a veces (otra vez, a veces) olvidan que abusar de la notación no es tan diferente a hacer/agregar otra notación a la no. uno abusado (aunque es diferente, pero casi tan pequeño como ϵ ).

Dado que Bourbaki está bastante ocupado y (todavía) no es miembro de este sitio, estoy publicando su respuesta (que escribió de manera preventiva hace unos 70 años) en su nombre:

En la medida de lo posible hemos llamado la atención en el texto sobre el abuso del lenguaje, sin el cual cualquier texto matemático corre el riesgo de la pedantería por no decir de la ilegibilidad.

¿Por qué la mayúscula "Él"/"Su"?
@JoeZeng: algunos idiomas escriben 'Tú' en mayúscula para indicar respeto, así que creo que puede ser algo así.
Hasta donde yo sé, eso generalmente solo se usa para Dios.
@Joe: ah, aquí se abusa de la notación, pero lo toleraremos.

¡Se tolera el abuso de la notación cuando la alternativa es peor!

En algunos casos, el abuso de la notación no es realmente un abuso en absoluto, sino simplemente una falta de desarrollo de las cosas. Por ejemplo, estoy seguro de que muchos considerarían

arcán ⁡ ( + ∞ ) = π / 2

un abuso de notación que pretende ser una forma abreviada de

límite X → + ∞ arcán ⁡ ( X ) = π / 2

Pero si haces un viaje corto a la teoría de la línea real extendida, se ve que la identidad es un hecho literalmente cierto acerca de la arcán función en la línea real extendida (que es la extensión continua de la arcán función sobre los reales).

Yo diría más bien que si arcán ⁡ ( + ∞ ) = π / 2 es un abuso de notación depende del contexto. En cálculo de primer año, por ejemplo, es, en el mejor de los casos, un abuso de la notación y, en el peor de los casos, simplemente incorrecto.
Esto me recuerda las seis reglas elementales de Orwell ("La política y el idioma inglés"), de las cuales la sexta es "Rompe cualquiera de estas reglas antes que decir algo completamente bárbaro". (De la guía de estilo de The Economist).
@Brian: Tal vez las formas diferenciales hubieran sido un mejor ejemplo, ya que a los estudiantes se les enseña a usarlas de manera heurística (por ejemplo, integración por partes, sustitución en integrales) mucho antes de que se presenten formalmente.

Como dije en mi comentario/pregunta debajo de su pregunta, parece que está "abusando" (mal usando) de la frase " abuso de notación ".

En matemáticas, el abuso de la notación ocurre cuando un autor usa una notación matemática de una manera que no es formalmente correcta pero que parece probable que simplifique la exposición o sugiera la intuición correcta (mientras que es poco probable que introduzca errores o cause confusión). El abuso de la notación debe contrastarse con el mal uso de la notación, que debe evitarse. Un concepto relacionado es el abuso del lenguaje o abuso de la terminología, cuando no se utiliza una notación sino un término.

En particular, me refiero a tu observación:

Entiendo si más adelante en los estudios de uno se supone que las cosas están en su lugar, pero hay muchos libros de texto que asumen que ciertas cosas se saben antes de enseñarlas.

Aquí, me parece que se está quejando de que está encontrando el uso de una notación que no comprende y que aún no ha encontrado, y para la cual el autor/instructor no ha definido explícitamente. Esto NO es un abuso de notación. Aquí es donde usted "habla" y PREGUNTA qué quiere decir (si está en clase). Alternativamente, en tal situación, debe tomar la iniciativa para comprender la notación, para ver si el texto en cuestión tiene un apéndice o índice que define la notación que usa, o puede apelar a alguna referencia para comprender mejor los símbolos . /notación y sus diversos usos, que suelen depender del contexto.

Dicho esto, con respecto a lo que en realidad se entiende por "abuso de la notación": todos somos humanos, y la notación matemática, como cualquier lenguaje, está sujeta a ambigüedad, quizás menos que el lenguaje natural, pero sin embargo, todavía está sujeta a ambigüedad. .

La notación también proporciona un medio para comunicar, de forma compacta, lo que sería laborioso tratar de comunicar de otro modo, incluso a costa de "abusar de la notación".

En cualquier caso, ser humano también significa que suele ser bueno evitar la pedantería y aprender a tolerar el uso//abuso/mal uso de cualquier lenguaje (matemático o no) por parte de otros. Ciertamente, es posible que desee aclararlo cuando considera que algo es un uso erróneo de la notación/lenguaje (y hacerlo de una manera útil), pero decidir no tolerarlo quizás sea ir demasiado lejos.

Y sospecho que todos tomamos "atajos", cuando sea práctico y cuando podamos asumir con seguridad que la notación de la que podemos estar "abusando" será entendida. Ciertamente, existe una "línea muy fina" entre aprovechar los atajos de notación y el "abuso" completo de la notación que no logra transmitir lo que se pretendía con su uso.

@CookieMonster "En cualquier caso, ser humano también significa que suele ser bueno evitar la pedantería y aprender a tolerar el uso//abuso/mal uso de cualquier idioma (matemático o de otro tipo) por parte de otros... decidir no tolerarlo es tal vez ir demasiado lejos. Y sospecho que todos tomamos "atajos", cuando sea práctico y cuando podamos asumir con seguridad la notación de la que podemos estar "abusando" se entenderá. Ciertamente, hay una "línea muy fina" entre tomar ventaja de los atajos de notación y el "abuso" completo de la notación que no logra transmitir lo que se pretendía con su uso ".
Sin más investigación, está diciendo que estaba usando una notación no estándar. Puedo mostrarles la siguiente referencia: ISO 31-11: ⇒ p ⇒ q signo de implicación si p entonces q; p implica q También se puede escribir como q ⇐ p. A veces se usa →. en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 . Parece que estás sufriendo de algunas sobreestimaciones severas de ti mismo, lo único que te distrae aquí.

Personalmente (solo puedo hablar por mí mismo), tolero el abuso cuando ayuda a mantener las cosas claras y simples (con respecto a mi perspectiva subjetiva). A veces puede tolerarse cuando no hay suficientes recursos (por ejemplo, tiempo, espacio, etc.) disponibles y los detalles no son tan importantes.

Hecho correctamente abusando de la notación hace las cosas más claras. Suponer que F : X → Y y A ⊆ X . Podemos escribir

  • F ( A )
  • { F ( X ) : X ∈ A }
  • Definir gramo : X ∪ PAG ( X ) → Y ∪ PAG ( Y ) por gramo ( X ) = F ( X ) si X ∈ X y gramo ( A ) = { F ( X ) : X ∈ A } si A ⊆ X . Aquí podemos usar ambos gramo ( X ) y gramo ( A ) . Hay dificultades con este método si X ∩ PAG ( X ) ≠ ∅ .
Tenga en cuenta que { F ( X ) : X ∈ A } es en sí mismo un abuso de notación! es una abreviatura de { y : ∃ X ∈ A . y = F ( X ) } .
@MJD El abuso de la notación es un proceso recursivo. ¡Podemos abusar de los abusos de notación!
@MJD: ¿Dónde está la ambigüedad potencial que haría de eso un abuso de la notación en lugar de una extensión de la misma? Se requiere cierto cuidado para definir el enlace variable y tal correctamente, pero no veo un problema inherente.
@dfeuer ¿Qué hace { F ( X ) : X ≠ y } medio (donde V es el universo del discurso)? Lo es { z : ∃ X ≠ y   z = F ( X ) } = F ( V ∖ { y } ) o { z : ∃ y ≠ X   z = F ( X ) } = { F ( X ) } (dónde X está ligado en la primera expresión y y está ligado en el segundo)? En general, solo podemos definir esa expresión en ciertas formas limitadas, como { A : X ∈ B } dónde A y B son expresiones de clase y X es una variable de conjunto enlazado.
@MarioCarneiro: Creo que entiendo lo que dices. Sin embargo, es desafortunado, ya que un poco de modificación en la notación permitiría que no sea ambiguo. Compare la sintaxis de comprensión de listas del lenguaje de programación Haskell, que esencialmente usa una alternativa ∈ símbolo (escrito ← ) para indicar que un nombre de variable se vincula allí.
@dfeuer Como otro ejemplo, Metamath va por el otro lado, definiendo { X | φ } , { X ∈ A | φ } , { ⟨ X , y ⟩ | φ } , y { ⟨ ⟨ X , y ⟩ , z ⟩ | φ } , donde las variables en minúsculas están en cada caso enlazadas. En lugar de restringir el lado derecho de la comprensión, restringen el lado izquierdo, por lo que las variables vinculadas no son ambiguas. (Creo que el modelo interno que usan los matemáticos es { A | φ } X , y = { z | ∃ X , y ( z = A ∧ φ ) } , dónde X , y es la lista implícita de variables enlazadas que se deduce del lado "simple" de la comprensión).

Me di cuenta de que las matemáticas (en general, todas las ciencias) son una colección de hebras de ideas; cada hebra no tiene más de unos centímetros de largo, es decir, está incompleta por sí sola, pero se conectan entre sí como neuronas, y en conjunto forman un puente gigantesco de varias millas de largo. No abusar de la notación es como tratar de construir un puente usando solo un hilo: una idea perfecta, autónoma y única. Eso es muy contraproducente y, a menudo, obstaculiza el progreso.

Creo que a medida que salen a la luz nuevas ideas y nuevas formas de pensar sobre las cosas, cualquier lenguaje, jerga o simbolismo también debe evolucionar. Los idiomas no serían tan sofisticados como lo son hoy en día sin algún tipo de elemento de creatividad. Las personas a las que se les ocurren ideas no siempre establecen las convenciones (por ejemplo, los cuadrados latinos en las matemáticas combinatorias modernas normalmente usan letras o números para representar soluciones, no los símbolos latinos que usó Euler). ¿Estaría revolviéndose en su tumba? ¿O serían los conceptos subyacentes de las matemáticas, que son tanto simbólicos como a-simbólicos, los factores primordiales? Creo que lo que se necesita es un compromiso complicado de tradición mezclada con innovación y ayuda para las personas que no obtienen una, la otra o ambas.

Creo que fue la notación matemática adecuada lo que dio origen a mi amor por las matemáticas, y ahora soy profesor de matemáticas. Además, recordemos que las matemáticas son un lenguaje, el lenguaje más conciso hoy en día es verdaderamente universal.

¿Por qué se tolera el 'abuso de la notación'?
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