En el libro de "Introducción_a_la_teoría_de_la_computación_por_Michael_Sipser_Tercera_edición_Curso_Tecnología", página 7, la última oración es "Se dice que una función que usa todos los elementos del rango no es para el rango". ¿Qué significa "usar"? ¿Cómo puede una función usar su elemento de su rango? ¿Puede dar un ejemplo? ¡Muchas gracias de antemano!
"En el caso de la función abs, si estamos trabajando con números enteros, el dominio y el rango son Z, entonces escribimos abs : Z−!Z. En el caso de la función de suma de números enteros, el dominio es el conjunto de pares de enteros Z × Z y el rango es Z, por lo que escribimos suma: Z × Z−!Z. Tenga en cuenta que una función no necesariamente puede usar todos los elementos del rango especificado. La función abs nunca toma el valor −1 aunque −1 2 Z. Se dice que una función que usa todos los elementos del rango está sobre el rango".
Simplemente significa que por cada en el rango, hay algunos en el dominio tal que , es decir, se mapea cada elemento del rango.
Tenga en cuenta que en el uso moderno es más común usar el término "codominio" para referirse a lo que Sipser llama "rango" y "rango" para referirse realmente a la imagen de . entonces se llama "sobre" si su rango es igual a su codominio.
Como dijo @lulu, la última oración intenta expresar que se llama a una función f cuando cada valor v en el rango es f (x) para alguna x en el dominio.
Entonces, para tomar el ejemplo citado, la función de valor absoluto entero es exactamente cuando su rango son los números enteros no negativos (suponiendo que su dominio son los números enteros).
Para ver esto, observe que si definimos una función f por tal que para todos los enteros x, entonces podemos elegir cualquier elemento b en el rango ( ) y encuentre un elemento a del dominio (en este caso, b o -b funcionarían) tal que f(a) = b, por lo que f es sobre.
Por otro lado, si el rango fuera cualquier superconjunto de (como Z), sería fácil encontrar un elemento (como -1) que nunca sea la salida de f, por lo que f no sería sobre.
Una función es sobre si para cada en podemos encontrar un en tal que
Es decir, todos debe estar cubierto por . Considere un salón de clases con sillas y estudiantes. Definamos una función dónde es el conjunto de estudiantes y es el juego de sillas de dónde representa a cualquier estudiante y es la silla que ocupa ese estudiante. Entonces esta función no se cumple porque hay algunas sillas que no se "usan". Para lograrlo, podemos quitar cinco sillas del salón de clases o traer cinco estudiantes más al salón de clases.
lulú