La forma de la caja en la teoría cinética de los gases.

Algunas personas pueden derivarlo de esa manera, pero las paredes y la caja realmente no tienen nada que ver con eso. La física es local; si quiero saber sobre la presión, temperatura, etc. de un 1 cm$^3$poco de aire en el centro de un hangar de aviones, las colisiones de moléculas contra las paredes del hangar a muchos metros de distancia simplemente no tienen nada que ver.

De hecho, no estoy muy familiarizado con las derivaciones que se refieren a una caja cúbica al derivar este resultado; Creo que lo he visto más cuando las personas derivan la presión en función de la densidad numérica y la velocidad promedio. Si quisiera hacer eso sin referirse a las colisiones contra la pared de la caja, simplemente reconozca la presión como un flujo de impulso a través de una superficie, defina una superficie en el medio del aire en algún lugar y cuente cuántas partículas se mueven a través de ella por unidad. tiempo y su velocidad media normal a la superficie (y, por lo tanto, cuánto impulso llevan por unidad de tiempo). Este impulso por unidad de tiempo puede definir la presión (que es impulso por unidad de tiempo por unidad de área).

Para obtener la relación entre la energía cinética media y la temperatura, lo que se me ocurre es primero derivar la distribución de Maxwell-Boltzmann para las velocidades en función de la temperatura. Esta es solo la distribución que maximiza la entropía de las moléculas de aire para una energía fija.

La distribución de Maxwell-Boltzmann te da una densidad de probabilidad$P(v)$por la velocidad,$v$, de las partículas. Puede calcular la energía cinética media con$\frac12 m \int_0^\infty v^2 P(v)$, y será proporcional a la temperatura. Todo este argumento no tiene nada que ver con ningún contenedor cúbico.

Si todo lo que quiere saber es si, en una discusión sobre colisiones con las paredes de un contenedor, la forma del contenedor es importante, la respuesta es que no lo es.

Supongamos que tenemos algún contenedor. Zoom en una porción muy pequeña del área$\mathrm{d}A$con lados mucho más pequeños que el radio de curvatura de la caja allí (aunque todavía mucho más grande que el espacio entre las moléculas), de modo que el parche puede considerarse plano. Observar el parche por un corto tiempo$\mathrm{d}t$. Entonces, el impulso impartido a la parte de la pared es el número de colisiones multiplicado por el impulso medio impartido por colisión. El número de colisiones es simplemente el número de moléculas que estuvieron lo suficientemente cerca de la pared para chocar contra ella en ese corto tiempo, o$\frac12 n \mathrm{d}A \bar{v}_x \mathrm{d}t$dónde$n$es la densidad numérica de las moléculas y$\bar{v}_x$es la velocidad media en la dirección normal a la pared. La fracción$\frac12$está allí porque sólo la mitad de las moléculas se dirigen hacia la pared. (Técnicamente, deberíamos hacer una integral sobre la distribución de las velocidades de las moléculas, pero resulta que esto no afecta el resultado; usar el promedio está bien). Cada molécula imparte un impulso promedio de$2 m v_x$en la pared, con$m$la masa de las moléculas, y suponiendo colisiones elásticas. Así que el impulso impartido a la pared es$n m \mathrm{d}A \bar{v}_x^2 \mathrm{d}t$, y la presión es$n m \bar{v}_x^2$, de acuerdo con la expresión en Wikipedia.

El argumento anterior no utiliza la forma general de la caja. Solo mira una pequeña pieza de la caja; la caja puede tener cualquier forma.