Distribución de velocidad de Maxwell, en 1D o no

La distribución unidimensional de Maxwell para la$i-$componente del vector velocidad es

$$f_{1D }(v_i) = \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \exp\left(-\frac{m v_i^2}{2kT} \right)$$

Dejemos caer el$i$y$1D$subíndices para simplificar. Estás buscando el promedio del valor absoluto de$v$,$|v|$. Encontrar$\langle |v| \rangle$, tenemos que realizar la integración

$$\int_{-\infty}^{\infty} |v| \ f(v) \ d v$$

Ahora, desde$f(v)$depende solo del cuadrado de$v$y estamos en una dimensión,$f(|v|) d|v| = f(v) d v$y tenemos

$$\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \int_{-\infty}^{\infty} |v| \exp\left(-\frac{m |v|^2}{2kT} \right) \ d |v|$$

Dado que el valor absoluto está presente, esto es igual a (cambiemos la notación para mayor claridad,$|v|=u$)

$$2 \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \int_{0}^{\infty} u \exp\left(-\frac{m u^2}{2kT} \right) \ d u$$

La integral se puede resolver fácilmente integrando por partes, y da como resultado$\frac{kT}{m}$, de modo que:

$$\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \left(\frac{2 kT}{m}\right)$$

Simplificando, obtenemos:

$$\langle |v| \rangle = \left( \frac{2kT}{\pi m} \right)^{1/2}$$

QED :-)

PS Observe que el promedio de$v_i$(sin valor absoluto) sería$0$por simetría. Para mayor claridad:

$$\langle v \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} v \ f(v) \ d v = 0$$

$$\sqrt{\langle v \rangle^2} = v_{rms} = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} v^2 \ f(v) \ d v }$$

$$\langle {|v|} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} |v| \ f(v) \ d v$$

La definición de$v_{avg}$para 3 dimensiones es

$$v_{avg}=\int_0^\infty |v|f(v)dv$$ Sin embargo, debe quedar claro que $$v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$$

Para 3D, la distribución se puede derivar de la distribución 1D pero un poco diferente.

$$f_{3D}(v) = \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT} \right)$$

Después de una integración similar a la anterior, puede obtener el mismo resultado que en su publicación.

El promedio 3D no es sencillo, pero hay que pasar por la definición, que en general es consistente con lo que hacemos en la vida diaria.