La expresión completa del generador conforme especial en d≥3d≥3d\geq 3 no satisface el álgebra conforme

Tengo problemas con la ecuación (4.31) de la teoría del campo conforme de DiFrancesco.

$$\begin{equation} K_\mu = 2 x_\mu \tilde{\Delta}-x^\nu S_{\mu \nu} -2i x_\mu x^\nu \partial _\nu +i x^2 \partial _\mu. \tag{4.31} \end{equation}$$ Parece por su derivación como si hubiera un factor de$2$falta en la parte de giro. De hecho, si resuelves el conmutador de$K_\mu$con$P_\nu=- i\partial_\nu$se supone que debe dar $$\begin{equation} [K_\mu , P_\nu] = 2i(\eta _{\mu \nu}D-L_{\mu \nu}) \end{equation}$$ pero para mí eso simplemente no funciona a menos que realmente falte un factor. Si se trata de un error tipográfico, entonces aún no figura en la fe de erratas y J. Qualls lo ha copiado en las notas de la conferencia. ( arXiv:1511.04074 Eq.2.37)

Además de eso, traté de encontrar una derivación alternativa de la expresión de$K_\mu$para comprobar por mi mismo. Partí de la definición del generador y la regla de transformación para escalares primarios bajo transformaciones conformes especiales. Todos los términos salen como se esperaba, excepto, por supuesto, la parte de giro. Para obtener eso, quería ver la versión infinitesimal del SCT y tratarlo como una rotación, es decir

$$\begin{equation} \tilde{x}_\mu = x_\mu +\omega_{\mu \nu}x^\nu \end{equation}$$ dónde$\omega_{\mu \nu}=2b_\nu x_\mu-b_\mu x_\nu$. Luego, sin tener en cuenta las otras partes de la transformación que ya conocemos, un campo con espín debería transformarse como $$\begin{equation} \tilde{\phi} = \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\rho \nu} S^{\rho \nu}\right )\phi \end{equation}$$ Pero si calculamos la contribución resultante a$K$encontramos $$\begin{equation} i\frac{\delta \tilde{\phi}}{\delta b^\mu}=-\frac{3}{2}x^\nu S_{\mu \nu} \end{equation}$$ lo que definitivamente está mal.

Entonces mi pregunta es:

1. ¿Cuál es el factor correcto para$S$?

2. ¿Por qué mi derivación es incorrecta?