Física desacoplada del campo escalar complejo

Question

Física desacoplada del campo escalar complejo

Física
conmutador
teoría de campo
números complejos
teoría cuántica de campos
formalismo hamiltoniano

de pesadilla

Las relaciones canónicas de conmutación para un campo escalar complejo son de la forma

[ϕ (t, \vec{X}), π (t, \vec{y})] = i d^{(3)} (\vec{X} - \vec{y})

$[\phi(t,\vec{x}),\pi(t,\vec{y})]=i\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})$

[ϕ^{*} (t, \vec{X}), π^{*} (t, \vec{y})] = i d^{(3)} (\vec{X} - \vec{y})

$[\phi^{*}(t,\vec{x}),\pi^{*}(t,\vec{y})]=i\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})$

¿Cómo se pueden obtener estas relaciones de conmutación a partir de las relaciones de conmutación de dos campos escalares reales libres?

qmecanico

Comenta la publicación (v3): ¿Por qué cambiaste los CCR/moviste la estrella? ¿Obtuviste esto originalmente de alguna referencia?

de pesadilla

Sí, los obtuve de las notas de clase de David Tong en damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html . Las relaciones de conmutación están en la ecuación (2.71) en la página 34 de sus notas.

qmecanico

Pero, ¿qué te hizo escribirlo de manera diferente en v1? ¿Fue solo un error tipográfico?

de pesadilla

Sí. Mis relaciones de conmutación originales eran

[ϕ (t, \vec{x}), π^{*} (t, \vec{y})] = i δ^{(3)} (\vec{x} - \vec{y})

$[\phi(t,\vec{x}),\pi^{*}(t,\vec{y})]=i\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})$

[ϕ^{*} (t, \vec{x}), π (t, \vec{y})] = i δ^{(3)} (\vec{x} - \vec{y})

$[\phi^{*}(t,\vec{x}),\pi(t,\vec{y})]=i\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})$ . Pero no creo que sean correctos.

Respuestas (1)

Física desacoplada del campo escalar complejo

Comenta la publicación (v3): ¿Por qué cambiaste los CCR/moviste la estrella? ¿Obtuviste esto originalmente de alguna referencia?
Sí, los obtuve de las notas de clase de David Tong en damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html . Las relaciones de conmutación están en la ecuación (2.71) en la página 34 de sus notas.
Pero, ¿qué te hizo escribirlo de manera diferente en v1? ¿Fue solo un error tipográfico?
Sí. Mis relaciones de conmutación originales eran $[\phi(t,\vec{x}),\pi^{*}(t,\vec{y})]=i\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})$ $[\phi^{*}(t,\vec{x}),\pi(t,\vec{y})]=i\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})$ . Pero no creo que sean correctos.

qmecanico · Answer 1

I) El campo escalar complejo proviene de dos campos escalares reales/hermitianos con CCR s de igual tiempo

[{\hat{ϕ}}^{j} (t, \vec{X}), {\hat{ϕ}}^{k} (t, \vec{y})] = 0,

$[\hat{\phi}^j(t,\vec{x}),\hat{\phi}^k(t,\vec{y})]~=~0,$

[{\hat{ϕ}}^{j} (t, \vec{X}), {\hat{π}}_{k} (t, \vec{y})] = i ℏ 1 d_{k}^{j} d^{3} (\vec{X} - \vec{y}),

$[\hat{\phi}^j(t,\vec{x}),\hat{\pi}_k(t,\vec{y})]~=~i\hbar{\bf 1}~\delta^j_k~ \delta^{3}(\vec{x}-\vec{y}),$

\begin{matrix} (A) & [{\hat{π}}_{j} (t, \vec{X}), {\hat{π}}_{k} (t, \vec{y})] = 0, j, k \in {1, 2}, \end{matrix}

$[\hat{\pi}_j(t,\vec{x}),\hat{\pi}_k(t,\vec{y})]~=~0, \qquad j,k~\in~\{1,2\}, \tag{A}$

y las definiciones

\begin{matrix} (B) & \hat{ϕ} = \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{ϕ}}^{1} + i {\hat{ϕ}}^{2}), \end{matrix}

$\hat{\phi}~=~\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\phi}^1+i\hat{\phi}^2),\tag{B}$

\begin{matrix} (C) & \hat{π} = \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{π}}_{1} - i {\hat{π}}_{2}), \end{matrix}

$\hat{\pi}~=~\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\pi}_1\color{red}{-}i\hat{\pi}_2),\tag{C}$

cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Esto lleva a los CCR mencionados por OP.

II) Si el $\color{red}{\text{minus sign}}$ en la ec. (C) parece extraño, considere el siguiente argumento clásico. La densidad lagrangiana es

\begin{matrix} (D) & L = | \dot{ϕ} |^{2} - | \nabla ϕ |^{2} - V = \frac{1}{2} ({\dot{ϕ}}^{1})^{2} + \frac{1}{2} ({\dot{ϕ}}^{2})^{2} - \frac{1}{2} (\nabla ϕ^{1})^{2} - \frac{1}{2} (\nabla ϕ^{2})^{2} - V . \end{matrix}

${\cal L}~=~|\dot{\phi}|^2 - |\nabla \phi |^2 - {\cal V} ~=~\frac{1}{2}(\dot{\phi}^1)^2+\frac{1}{2}(\dot{\phi}^2)^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi^1)^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi^2)^2 - {\cal V} .\tag{D}$ Por lo tanto, los momentos se leen

\begin{matrix} (MI) & π_{j} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{ϕ}}^{j}} = {\dot{ϕ}}^{j}, j \in {1, 2}, \end{matrix}

$\pi_j~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^j}~=~\dot{\phi}^j, \qquad j~\in~\{1,2\}, \tag{E}$

\begin{matrix} (F) & π = \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{ϕ}}^{1}} - i \frac{\partial L}{\partial {\dot{ϕ}}^{2}}) = {\dot{ϕ}}^{*} = \frac{1}{\sqrt{2}} (π_{1} - i π_{2}) . \end{matrix}

$\pi~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}} ~=~\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^1}\color{red}{-}i \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^2} \right) ~=~\dot{\phi}^{\ast} ~=~\frac{1}{\sqrt{2}}(\pi_1\color{red}{-}i\pi_2).\tag{F}$

III) Como referencia, mencionemos que la densidad lagrangiana hamiltoniana dice

\begin{matrix} (GRAMO) & L_{H} = π \dot{ϕ} + π^{*} {\dot{ϕ}}^{*} - H = π_{1} {\dot{ϕ}}^{1} + π_{2} {\dot{ϕ}}^{2} - H, \end{matrix}

${\cal L}_H~=~\pi \dot{\phi}+\pi^{\ast} \dot{\phi}^{\ast} -{\cal H} ~=~\pi_1 \dot{\phi}^1+\pi_2 \dot{\phi}^2 -{\cal H}, \tag{G}$

donde la densidad hamiltoniana es

\begin{matrix} (H) & H = | π |^{2} + | \nabla ϕ |^{2} + V = \frac{1}{2} (π_{1})^{2} + \frac{1}{2} (π_{2})^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ^{1})^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ^{2})^{2} + V . \end{matrix}

${\cal H}~=~|\pi|^2 + |\nabla \phi |^2 + {\cal V}~=~\frac{1}{2}(\pi_1)^2+\frac{1}{2}(\pi_2)^2+\frac{1}{2}(\nabla \phi^1)^2+\frac{1}{2}(\nabla \phi^2)^2 + {\cal V} .\tag{H}$

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