Giro clásico visto como SU(2)SU(2)SU(2)

Question

Giro clásico visto como SU(2)SU(2)SU(2)

alguacil

¿En qué sentido es la variable de configuración de un espín clásico $SU(2)$ ? Puedo ver un espín clásico como un vector unitario en $\mathbb{S}^2$ (esfera de 2 dim.), pero parece que en realidad está dada por una matriz $U$ en $SU(2)$ . El mapa de Hopf

H : S tu (2) \to S^{2}

$H:SU(2)\rightarrow \mathbb{S}^2$ dada por

H (tu) = tu σ_{3} {tu}^{†}

$H(U)=U\sigma_3U^{\dagger}$ cuya imagen se puede identificar con un elemento en

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ da lo que imaginé que sería este giro clásico.

Ya que con un campo magnético $B$ la interacción es solo $H(U) \cdot B$ no habría problema en solo considerar $S \in \mathbb{S}^2$ como una variable de configuración, pero leí lo siguiente:

Una partícula clásica de masa $m$ , con posición $x$ y girar $S$ moviéndose en un campo magnético externo fijo $B$ puede ser descrita por la función Lagrangiana en el paquete tangente del espacio de configuración $\mathbb{R} \times SU(2)$ dado como

L = \frac{1}{2} {\dot{X}}^{2} + i λ T r (σ_{3} {tu}^{†} \dot{tu}) + m T r (H (tu) \dot{B}) .

$L=\frac{1}{2}\dot{x}^2+i\lambda Tr(\sigma_3U^{\dagger}\dot{U})+\mu Tr(H(U)\dot B).$

Así que el segundo término es explícitamente en términos de $U$ .

EDITAR: obtuve esto de "Simetrías de calibre y paquetes de fibra". Balachandran et al.

pg19 de la referencia

una mente curiosa

"¿En qué sentido es la variable de configuración de un espín clásico SU(2)?" ... esta pregunta no tiene sentido (gramaticalmente) para mí, no sé lo que estás preguntando.

alguacil

¿Cómo puedo visualizar un "giro clásico" como una matriz en

S U (2)

$SU(2)$ (pudiendo hacerlo en

S^{2}

$S^2$ ), de la misma manera que visualizo la posición de una partícula como un vector

u \in R^{3}

$u \in \mathbb{R}^3$

Slereah

tu no SU(2) es el grupo de transformación (doble cubierta de SO(3) y así sucesivamente). Al igual que una matriz de SO(3) actúa sobre un vector 3D, una matriz de SU(2) actúa sobre un espinor. Es por eso que los espinores son vectores complejos 2D.

qmecanico

Comentario a la pregunta (v4): @sheriff, ¿el lagrangiano con el último término está tomado de una referencia?

qmecanico

Cruzado a math.stackexchange.com/q/1292451/11127

alguacil

¿Cómo debería hacerlo mejor @Qmechanic para llegar a más personas con mi pregunta?

alguacil

por cierto, quise decir interpretar o tener una referencia para esto:

Respuestas (1)

Giro clásico visto como SU(2)SU(2)SU(2)

"¿En qué sentido es la variable de configuración de un espín clásico SU(2)?" ... esta pregunta no tiene sentido (gramaticalmente) para mí, no sé lo que estás preguntando.
¿Cómo puedo visualizar un "giro clásico" como una matriz en $SU(2)$ (pudiendo hacerlo en $S^2$ ), de la misma manera que visualizo la posición de una partícula como un vector $u \in \mathbb{R}^3$
tu no SU(2) es el grupo de transformación (doble cubierta de SO(3) y así sucesivamente). Al igual que una matriz de SO(3) actúa sobre un vector 3D, una matriz de SU(2) actúa sobre un espinor. Es por eso que los espinores son vectores complejos 2D.
Comentario a la pregunta (v4): @sheriff, ¿el lagrangiano con el último término está tomado de una referencia?
¿Cómo debería hacerlo mejor @Qmechanic para llegar a más personas con mi pregunta?
por cierto, quise decir interpretar o tener una referencia para esto:

Selene Routley · Answer 1

No estoy del todo seguro de lo que está preguntando, pero sospecho que lo siguiente puede ayudar. Representar rotaciones, espines y vectores en $SU(2)$ trabajamos de la siguiente manera.

Las rotaciones viven en $SU(2)$ .

Los vectores (en el sentido físico) viven en el álgebra $\mathfrak{su}(2)$ . El vector de posición $(x,\,y,z)$ es:

X = X {\hat{s}}_{X} + y {\hat{s}}_{y} + z {\hat{s}}_{z} = (\begin{array}{cc} i z & i X - y \\ i X + y & - i z \end{array})

$X =x\,\hat{s}_x+y\,\hat{s}_y+z\,\hat{s}_z = \left(\begin{array}{cc}i z&i\,x-y\\i\,x+y&-i z\end{array}\right)$

que es una superposición de las matrices de Pauli con un factor de $i$ arrojado para poner nuestro vector en el sesgo-hermitiano $\mathfrak{su}(2)$ .

una rotación $\gamma\in SU(2)$ actúa sobre un vector $X\in\mathfrak{su}(2)$ a través del mapa de spinor :

X \mapsto γ X γ^{- 1} = γ X γ^{†}

$X\mapsto \gamma\,X\,\gamma^{-1}=\gamma\,X\,\gamma^\dagger$

El producto vectorial entre los dos vectores. $X,\,Y\in\mathfrak{su}(2)$ es el paréntesis de mentira $[X,\,Y]$ . El producto interno puede considerarse como el anticonmutador $\{X,\,Y\}=X\,Y+Y\,X$ y siempre es un factor de escala multiplicado por la matriz de identidad (por lo tanto, es un "escalar") o el factor de escala solo también se puede encontrar como $\mathrm{tr}(X\,Y)$ (que, por $\mathfrak{su}(2)\cong\mathrm{ad}(\mathfrak{su}(2))=\mathfrak{so}(3)$ , es lo mismo que el negativo de la forma Killing, ya que $X^T = -X$ ).

Una velocidad angular define la derivada temporal de una rotación, como tal, también es un miembro del álgebra de Lie. $\mathfrak{su}(2)$ y se deja traducido para convertirse en la derivada temporal de un operador de rotación:

d_{τ} γ (τ) = γ Ω

$\mathrm{d}_\tau\,\gamma(\tau) = \gamma\,\Omega$

dónde $\Omega = \gamma^{-1}\,\mathrm{d}_\tau\,\gamma(\tau)\in\mathfrak{su}(2)$ es la velocidad angular. La velocidad instantánea de un vector de posición constante $X$ bajo la acción de $X\mapsto \gamma(\tau)\,X\,\gamma^{-1}(\tau)$ es entonces $[\Omega,\,X]$ . La energía de interacción entre $\Omega$ y una inducción magnética $B\in\mathfrak{su}(2)$ es, por lo anterior, el producto interior $\mathrm{tr}(\Omega\,B)$ (módulo a relación giromagnética)

¿Esto ayuda?

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Slereah

qmecanico

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Respuestas (1)

Selene Routley

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