QFT: ¿Cómo le explicaría a un matemático qué significa "se transforma en"?

No conozco esta expresión en particular, pero la imagen habitual es la siguiente:

• Por un lado, tienes un sistema y le asignas cantidades que describen el sistema, como la energía total, el cuatrivector de impulso, el giro, etc.

• Por otro lado, tiene simetrías de este sistema, por ejemplo, transformaciones de Lorenz, paridad, inversión de tiempo y transformaciones como operadores de evolución de tiempo (si no se consideran simetrías).

Obviamente, las simetrías se comportan de manera diferente para diferentes objetos. Si hago una inversión de tiempo, la energía total permanece igual mientras que el impulso cambia de signo porque el objeto viaja en la otra dirección. Obviamente, necesitas saber cómo se comporta todo.

Las matemáticas

Cada objeto vive en algún tipo de espacio o variedad. Por ejemplo, la energía podría vivir en$\mathbb{R}$, los cuatro vectores podrían vivir en$\mathbb{R}^4$o en alguna variedad de cuatro dimensiones. Ahora, las simetrías suelen ser un grupo y para cada grupo, puede estudiar representaciones grupales . "Se transforma como" simplemente se refiere a la representación particular de la simetría.

Para ilustrar el punto, atengámonos a la simetría de Lorentz: las simetrías de Lorentz forman un grupo que consta de rotaciones y "impulsos" y generalmente se denota$SO(3,1)$. Puede considerar una representación del grupo Lorentz en$\mathbb{R}$o$\mathbb{R}^4$(o cualquier espacio vectorial; las representaciones no son necesariamente únicas, pero supongamos que lo son). Llame a estas representaciones$\pi_1$y$\pi_2$entonces nosotros tenemos:

El objeto$\phi$se transforma como un vector y el objeto$\psi$se transforma como un escalar

medio:

Un elemento del grupo de Lorentz$L\in SO(3,1)$actúa sobre$\phi\in \mathbb{R}^4$como$\pi_2(L)\phi$mientras actúa sobre$\psi\in \mathbb{R}$como$\pi_1(L)\psi$.

En otras palabras: tienes que clasificar las diferentes representaciones irreducibles del grupo de simetría. Decir que un objeto se transforma como, por ejemplo, un tensor, un vector o un escalar (o lo que sea) simplemente significa que se transforma de acuerdo con la representación que etiquetó como "tensor", "vector" o "escalar" (o lo que sea). Tenga en cuenta que esto también especifica el espacio matemático en el que realmente viven los objetos.

Como mencionó David Z, esa transformación ocurrió en una situación diferente en QFT. En lugar de ser formal, podemos tratar de tener un ejemplo, donde se puede realizar esta "transformación como".

Las representaciones del álgebra de Lorentz se pueden etiquetar con dos semienteros:$(j_{-},j_{+})$. La dimensión de la representación$(j_{-},j_{+})$es dado por$(2j_{-}+1)(2j_{+}+1)$. En particular

• $\left(\frac{1}{2},0\right)$conocido como espinor zurdo ($\psi_{L}$) como$\psi_{L} \in \left(\frac{1}{2},0\right)$.
• y$\left(0,\frac{1}{2}\right)$conocido como espinor diestro ($\psi_{R}$) como$\psi_{R} \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$.

(Con el que quizás ya esté familiarizado por su curso de QFT)

Ahora, ambos$\psi_{L}$y$\psi_{R}$transforma de manera diferente bajo las transformaciones de Lorentz. Mientras

$$\begin{eqnarray} \psi_{L} \to \psi_{L}' = \Lambda_{L}\psi_{L} & = &\exp\left[(-i\theta-\eta)\cdot\frac{\sigma}{2}\right]\psi_{L}\\ \psi_{R} \to \psi_{R}' = \Lambda_{R}\psi_{R} & = &\exp\left[(-i\theta+\eta)\cdot\frac{\sigma}{2}\right]\psi_{R} \end{eqnarray}$$ dónde $\sigma's$son matrices de Pauli y $\theta,\psi$son parámetros de rotación y impulso, respectivamente. Ahora, usando las propiedades básicas de las matrices de Pauli, se puede demostrar que $\sigma^{2}\psi_{L}^{*}\sigma^{2}=\psi_{R}$. A partir de esto se puede demostrar que, $$\begin{equation} \sigma^{2}\psi_{L}^{*} \to \sigma^{2}(\Lambda_{L}\psi_{L})^{*}=(\sigma^{2}\Lambda^{*}_{L}\sigma^{2})\sigma^{2}\psi^{*}_{L} = \Lambda_{R}(\sigma^{2}\psi_{L}^{*}) \end{equation}$$ Sin embargo, la conclusión es $\psi_{L}$ transformarse en espinor zurdo que pertenece a $(1/2,0)$, el $\sigma^{2}\psi_{L}^{*}$ transformarse en espinor diestro, que es $(0,1/2)$.

Entonces, la cuestión es simplemente cómo se transforma un estado bajo una transformación dada, sin profundizar en la terminología matemática.

Lo que tu maestro quiere decir es solo un mapa, digamos$f$, que toma elementos de un conjunto (dominio)$\mathcal{S}$y los asigna a un elemento de otro conjunto$\mathcal{S}'$(el codominio). En forma matemática, esto generalmente se escribe como

$$f: \mathcal{S} \to \mathcal{S}'$$

Si$x\in \mathcal{S}$, entonces$f(x)\in \mathcal{S}'$. Por ejemplo, el mapa$f(x)=e^x$toma un elemento$x\in\mathbb{R}$(dominio) y lo transforma en el elemento$e^x\in\mathbb{R}^+$(codominio).

En tu ejemplo, tomo eso$\psi$es la función de onda y$A$algún operador lineal que actúa sobre él, que es solo un mapa lineal que toma un elemento$\psi$del espacio de funciones de onda$\mathcal{H}$(dominio) y lo transforma en otro elemento$A\psi$de algún otro (o mismo) espacio$\mathcal{H'}$(codominio).

Comenzaré con un ejemplo de álgebra lineal. Supongamos que tenemos un espacio vectorial de dimensión finita$V$. Elegimos una base$e_i$,$i=1...n$y expandir todos los vectores en términos de base. Para$x \in V$tenemos

$$x = x^i e_i,$$ donde la suma sobre índices repetidos está implícita (convención de suma de Einstein). A partir de ahora identificaré vector $x$con sus componentes $x^i$. operador lineal $O$está representado por una matriz $O^i_{\ \ j}$etc. Ahora supongamos que quiero cambiar la base a $f_i = \beta^j_{\ \ i}$, dónde $\beta$es alguna matriz no singular. Entonces los componentes de $x$también cambia, pero $x$como un objeto geométrico no lo hace. Por eso escribo $$e_i \mapsto f_i = e_j \left( \beta ^{-1} \right)^j_{\ \ i},$$ $$x^i \mapsto \beta^i_{\ \ k} x^k,$$ $$x \mapsto x .$$ Por supuesto, los operadores lineales deben cambiar en consecuencia. Por ejemplo, $$O^{i}_{\ \ j} \mapsto \beta^i_{\ \ k} O^k_{\ \ m} \left( \beta^{-1} \right)^m_{\ \ j}.$$ Esta matriz de transformación por similitud asegura que $(Ox)^i=O^i_{\ \ j}x^j$se transforma como componentes de un vector, como debería ser: $$(Ox)^i \mapsto \beta^i_{\ \ j} x^j.$$ Este es solo un ejemplo específico de un esquema general: hay algún grupo de transformaciones que actúan sobre los objetos en la teoría. En este caso se trataba de un conjunto de todos los posibles cambios de base. No le damos un nombre o símbolo especial a la transformación, solo escribimos explícitamente lo que hace a objetos específicos.

Lo que presenté arriba es la llamada interpretación pasiva de las transformaciones. Consideré los vectores como objetos invariantes. El cambio de base se considera como "cambio de punto de vista". En muchas situaciones físicas existen formas físicamente equivalentes de describir el sistema. Puedes usar muchas coordenadas para describir el mismo sistema físico. O puede usar varios marcos de referencia. Por supuesto, algunos objetos utilizados en la descripción, como los valores numéricos de las velocidades o la forma funcional del hamiltoniano, cambiarán.

También hay un punto de vista activo. La idea es que pienses en base$e_i$como fijo. Cambias las coordenadas de$x$de acuerdo a

$$x^i \mapsto \beta^i_{\ \ j} x^j.$$ Tenga en cuenta que esta es una transformación genuina de $x$vector: $$x \mapsto \beta x,$$ dónde $\beta$ahora se considera como un operador lineal (en lugar de una matriz de transición). Ahora, lo que generalmente buscamos es la covarianza: dado que $Ox$es también un vector, nos gustaría que se transforme en consecuencia, $$Ox \mapsto \beta Ox .$$ Esta demanda nos obliga a transformar $O$respectivamente, $$O \mapsto \beta O \beta^{-1} .$$

Tenga en cuenta que estas dos formas de ver las leyes de transformación son duales entre sí. En un caso, el conjunto de todas las transformaciones posibles es el conjunto de todas las matrices no singulares y, en el otro, el conjunto de todos los operadores lineales no singulares. Por supuesto, las matrices son solo componentes en alguna base de operadores lineales. Este tema es bastante universal en matemáticas y profundamente importante.