La derivada inyectiva implica una función localmente inyectiva

Estoy trabajando en una prueba para mi clase de análisis real y me quedé atascado.

Dejar$U$ser un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^n$. Dejar$f: U \to \mathbb{R}^m$Sea un mapa continuamente diferenciable, y además suponga que$Df(x_0)$es inyectable para algunos$x_0 \in U$.

Demostrar que existe un conjunto abierto$U_1 \subset U$que contiene$x_0$tal que$f$prohibido para$U_1$es inyectable.

Ya he demostrado que para$x, y, x_0 \in U$, tenemos eso$||f(x) - f(y) - Df(x_0)(x-y)|| \leq ||x-y||\sup||Df(v)-Df(x_0)||$(*) mediante el uso de la desigualdad del valor medio. Aquí estoy tomando el supremo$v$, dónde$v$está en el segmento de línea que conecta$x$y$y$.

Me dieron una pista para aplicar esta desigualdad para mostrar que para alguna bola abierta$B_r (x_0)$, tenemos eso$||f(x_1) - f(x_2)|| \geq C||x_1 - x_2||$(**) para alguna constante$C$.

Para mí está claro que la inyectividad se deriva de la segunda desigualdad (**), pero estoy luchando por demostrar que esta desigualdad es cierta.

La inyectividad de$Df(x_0)$nos da eso$Df(x_0)(x-y) \neq 0$para$x \neq y$, y traté de usar este hecho para romper el lado izquierdo de (*), por ejemplo, usando la desigualdad del triángulo, pero no pude hacer mucho progreso.