Intuición detrás de la aplicación del teorema de la función implícita a la parametrización del círculo unitario

Esta publicación es una modificación de una publicación anterior que eliminé desde entonces, que era demasiado complicada y básicamente tenía dos preguntas separadas. (No recibió respuestas.)

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Un ejemplo motivador común para el teorema de la función implícita (IFT) es la ecuación$x^2+y^2=1$dónde$(x,y)\in \mathbb R^2$, como podemos escribir localmente$y$como una ecuacion de$x$(y viceversa) de la manera familiar.

Considere el siguiente ejercicio de Introducción al análisis de Wade .

Suponer que$f:=(u,v):\mathbb R\to \mathbb R^2$es$C^2$y establecer$(x_0,y_0)=f(t_0)$. También suponga que$f'(t_0)\ne 0$. Demostrar que o bien hay un$C^1$función$g$con$g(x_0)=t_0$y$u(g(x))=x$para cualquier$x$cerca$x_0$o hay un$C^1$función$h$con$h(y_0)=t_0$y$v(h(x))=y$para cualquier$y$cerca$y_0$. (Tenga en cuenta que creo que el libro de texto tiene un error tipográfico, ya que solo debemos asumir que$f$es$C^1$. Corrígeme si estoy equivocado.)

Puedo hacer esto aplicando el IFT a la función$F(x,t)=x-u(t)$y a la funcion$G(y,t)=y-v(t)$.

Ahora, el círculo unitario se puede parametrizar (infinitas veces) por$(\sin(t), \cos(t))$para$t\in \mathbb R$. y el mapa$(\sin(t), \cos(t))$Está en todas partes$C^1$.

Por lo tanto, me pregunto si el ejercicio puede verse como una descripción del ejemplo motivador del círculo unitario que describí inicialmente. Es decir, ¿hay alguna forma de relacionar este problema con la simple idea de escribir el círculo unitario$x^2+y^2=1$localmente en función de$x$o$y$?

Creo que la respuesta es "sí" en algún sentido, pero no estoy seguro de cómo. Solo quiero ganar un poco de intuición.