Diferenciación de funciones vectoriales de valor real.

Question

Diferenciación de funciones vectoriales de valor real.

derivados
Matemáticas
análisis real
análisis vectorial
cálculo multivariable

Oskar Szarowicz

Si $v(a,b,c): \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ y $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ por $f(v) = v \cdot v$ (producto escalar), ¿cuál es $\frac{\partial f}{\partial a}$ ?

Intento de regla de la cadena:

$\frac{df}{dv} = 2v$ y entonces $\frac{\partial f}{\partial a} = 2v \cdot \frac{\partial v}{\partial a}$ ? No creo que esto sea correcto, lamentablemente. Alguien podría darme algunos consejos por favor :)

Jakobian

Tenemos

(v \cdot u)^{'} = v^{'} \cdot u + v \cdot u^{'}

$(v\cdot u )' = v' \cdot u + v \cdot u'$ al igual que para el producto habitual.

Vercassivelaunos

También hay una regla de producto para los productos escalares. (

u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}

$u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ .

Respuestas (2)

Diferenciación de funciones vectoriales de valor real.

Tenemos $(v\cdot u )' = v' \cdot u + v \cdot u'$ al igual que para el producto habitual.
También hay una regla de producto para los productos escalares. ( $u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ .

miauperro · Answer 1

Es correcto. Pero si queremos abordarlo en su forma de regla de cadena, debe aclarar cuál es una columna y cuál es un vector de fila. Por lo general, entendemos $v$ como vector columna y el diferencial como vector fila. Entonces

D F (X) = 2 X^{⊤} .

$Df(x) = 2x^\top.$ Entonces, por la regla de la cadena tenemos

D (F \circ v) (a, b, C) = D F (v (a, b, C)) \cdot D v (a, b, C) = 2 v (a, b, C)^{⊤} D v (a, b, C)

$D(f\circ v)(a, b, c) = Df(v(a, b, c)) \cdot Dv(a, b, c) = 2v(a, b, c)^\top Dv(a, b, c)$ Entonces

\partial_{a} (F \circ v) (a, b, C) = (D (F \circ v) (a, b, C))_{1} = 2 v (a, b, C)^{⊤} \partial_{a} v (a, b, C) = 2 v^{⊤} \partial_{a} v .

$\partial_a (f \circ v)(a, b, c) = (D(f \circ v)(a, b, c))_1 = 2v(a, b, c)^\top \partial_a v(a, b, c)= 2v^\top \partial_a v.$

adelante · Answer 2

Tenemos $v(a,b,c) = (v_1(a,b,c), v_2(a,b,c), v_3(a,b,c))$ y $f(v) = |v|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$ . Ahora aplica la regla de la cadena a cada sumando.

Diferenciación de funciones vectoriales de valor real.

Oskar Szarowicz

Jakobian

Vercassivelaunos

Respuestas (2)

miauperro

adelante

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