¿La curvatura real del espacio-tiempo contiene energía?

De hecho, al campo gravitatorio se le puede asignar una energía. Desafortunadamente, mientras que para, digamos, el campo EM, puede definir una densidad de energía en un punto ($\bf{E}^2+\bf{B}^2$), para el campo gravitacional no puedes hacer esto. - Cualquiera que sea la forma en que defina la energía en términos de los símbolos de Christoffel, se encuentra con el problema de que puede hacer que ellos, y por lo tanto la energía, desaparezcan en un punto al elegir un marco apropiado.

Así que la gente ha llegado a definiciones de energía no locales para el campo gravitatorio: energía ADM, energía Bondi, etc., todas las cuales implican integración en regiones espacio-temporales.

Es útil observar otra teoría de campo clásica más simple, el electromagnetismo. El electromagnetismo tiene ecuaciones sobre cómo cambian los campos electromagnéticos en el tiempo, son bastante simples en comparación con la relatividad general, a saber

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}\vec \nabla \times \vec B, \text{ and }\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec \nabla \times \vec E.$$

Lo que esto significa es que es natural que el espacio-tiempo esté lleno de campos electromagnéticos, pero tienen que evolucionar de cierta manera en el tiempo en función de lo que son ahora. Y para ciertas configuraciones, no cambian en el tiempo.

Lo mismo con la gravedad. En lugar de un campo electromagnético tienes una métrica y en lugar de

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}\vec \nabla \times \vec B, \text{ and }\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec \nabla \times \vec E$$ diciéndote cómo evolucionar en el vacío tienes la ecuación $G=0$que es una ecuación de segundo orden (y no lineal), por lo que aislar algo tan simple como la derivada temporal de los 16 componentes de la métrica no es fácil, y sería una segunda derivada de todos modos.

Pero las conclusiones son las mismas. Es natural que el espacio-tiempo esté lleno de una métrica cambiante incluso en el vacío, solo tiene que evolucionar de cierta manera. Muchas cosas análogas valen. Hay ondas electromagnéticas que atraviesan el vacío, hay ondas gravitatorias que atraviesan el vacío. Existe una forma natural de que los campos métricos y electromagnéticos evolucionen a lo largo del tiempo en el vacío. Y es natural que estén allí.

Pero cuando hay corriente eléctrica, el campo electromagnético tiene que evolucionar de otra manera. Evoluciona de acuerdo a

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}\vec \nabla \times \vec B-\frac{1}{\epsilon_0}\vec J, \text{ and }\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec \nabla \times \vec E.$$

Entonces, dada una región de corriente, como una hoja de corriente, puede unir una solución para cada lado de la hoja que normalmente no encajaría. Lo mismo sucede con la gravedad.

Puedes tomar una solución a la ecuación del vacío.$G=0$como el espacio de Minkowski en una región en forma de bola de radio 10.000 km. Entonces puedes tomar otra solución a la ecuación del vacío.$G=0$como la solución de Schwarzschild con parámetro$M=M_\oplus$y córtelos a lo largo de la capa esférica de área superficial$4\pi(10,000km)^2$y coserlos juntos. Normalmente no encajarían y seguirían siendo una solución para$G=0.$Y de hecho el cálculo de$G$involucra algunas segundas derivadas de la métrica y da un valor distinto de cero$G$justo en esa superficie. Pero eso está bien porque al igual que el electromagnetismo puede unir cosas si hay corriente allí, la gravedad también puede unir soluciones si hay energía de tensión allí. Entonces, solo necesita colocar algo de energía en la capa esférica entre las dos regiones, la cantidad perfecta, pero eso es todo lo que se necesita.

Entonces, la curvatura fuera de la capa esférica existe bien por sí sola. De hecho, es exactamente el tipo de curvatura que evoluciona hacia sí mismo, es un campo estático (como si tuviera un campo eléctrico uniforme y constante, puede sentarse allí siendo él mismo en el espacio vacío) por lo que la curvatura fuera del caparazón es capaz de evolucionar hacia sí mismo. De manera similar, la curvatura en el interior (ninguna) tiene una métrica que es completamente capaz de evolucionar hacia sí misma. Entonces, si la energía puede permanecer en su lugar, como un caparazón gigante hecho de ladrillos de lego que se mantienen juntos, entonces todo puede permanecer allí para siempre.

Pero esto no explica de dónde viene la curvatura. Acabamos de describir una situación en la que el futuro es como el pasado, que es igual al presente solo porque estaba perfectamente preparado para hacerlo.

¡Hagamos un poco de curvatura!

Comience con una capa esférica de materia. Tenga una métrica de Schwarzschild (curva) en la región fuera del caparazón y tenga una métrica de Minkowski (no curvada) en la región dentro del caparazón. Debe tener la cantidad justa de densidad de energía en el caparazón para hacer esto, supongamos que la tiene. Pero esta vez, la materia en el caparazón delgado no puede mantenerse unida, por lo que todo cae hacia el centro. ¿Que es diferente? El esfuerzo cortante es menor y esto permite que la materia caiga hacia el centro. A medida que cae, la región en la superficie más externa se ve obligada a evolucionar en el sentido del vacío en lugar de en el sentido de que aquí hay algo de densidad de energía, y sabemos qué es eso, ya que la métrica de Schwarzschild exterior es exactamente del tipo en cuanto a fabricarse a sí mismo, se produce más Schwarzschild donde la superficie exterior pretendía estar. Lo mismo con el interior de la superficie más interna, la nueva materia cambia la métrica de Minkowski a la métrica de Schwarzschild porque es exactamente la cantidad correcta de densidad de energía (para esa ubicación) para cambiar la métrica de una a otra, porque esa es la cantidad de energía. densidad que ponemos allí (técnicamente hay un poco más de energía ya que está cayendo, pero mágicamente esa es exactamente la cantidad de densidad de energía que necesitas en la nueva ubicación para hacer la transición entre los dos). Y esto funciona porque la restricción sobre cómo evoluciona la curvatura es exactamente lo que necesitas para ser consistente con cómo evoluciona la materia. En realidad, Einstein pasó su tiempo haciendo esa parte correctamente. el nuevo asunto allí hace la transición de la métrica de Minkowski a la métrica de Schwarzschild porque es exactamente la cantidad correcta de densidad de energía (para esa ubicación) para cambiar la métrica de una a otra, porque esa es la cantidad de densidad de energía que ponemos allí (técnicamente hay un poco más de energía ya que está cayendo, pero mágicamente esa es exactamente la cantidad de densidad de energía que necesita en la nueva ubicación para hacer la transición entre los dos). Y esto funciona porque la restricción sobre cómo evoluciona la curvatura es exactamente lo que necesitas para ser consistente con cómo evoluciona la materia. En realidad, Einstein pasó su tiempo haciendo esa parte correctamente. el nuevo asunto allí hace la transición de la métrica de Minkowski a la métrica de Schwarzschild porque es exactamente la cantidad correcta de densidad de energía (para esa ubicación) para cambiar la métrica de una a otra, porque esa es la cantidad de densidad de energía que ponemos allí (técnicamente hay un poco más de energía ya que está cayendo, pero mágicamente esa es exactamente la cantidad de densidad de energía que necesita en la nueva ubicación para hacer la transición entre los dos). Y esto funciona porque la restricción sobre cómo evoluciona la curvatura es exactamente lo que necesitas para ser consistente con cómo evoluciona la materia. En realidad, Einstein pasó su tiempo haciendo esa parte correctamente. es exactamente la cantidad de densidad de energía que necesita en la nueva ubicación para hacer la transición entre los dos). Y esto funciona porque la restricción sobre cómo evoluciona la curvatura es exactamente lo que necesitas para ser consistente con cómo evoluciona la materia. En realidad, Einstein pasó su tiempo haciendo esa parte correctamente. es exactamente la cantidad de densidad de energía que necesita en la nueva ubicación para hacer la transición entre los dos). Y esto funciona porque la restricción sobre cómo evoluciona la curvatura es exactamente lo que necesitas para ser consistente con cómo evoluciona la materia. En realidad, Einstein pasó su tiempo haciendo esa parte correctamente.

Entonces, cuando la materia se mueve, lo hace de cierta manera (una forma que conserva la energía y el impulso de una manera local) que es exactamente lo que le da a la métrica en el vacío que la rodea la libertad de evolucionar hacia una nueva métrica de vacío en un forma determinada por la métrica cercana y previamente, al igual que los campos electromagnéticos cambian en función de los campos anteriores y lo que sucede cerca. Para la gravedad, cambia de una manera de segundo orden, lo que significa que es la métrica y cómo cambia la métrica, esa es la "cosa" actual y la forma de evolución del vacío se trata de decir cómo pueden cambiar esas tasas de cambio. Y es más complicado porque no puedes simplemente sumar dos soluciones para obtener una nueva solución. Pero el estrés y la energía simplemente le dicen al espacio-tiempo que puede (y debe) curvarse de manera diferente a como lo hace normalmente sin estrés ni energía. Lo que le permite hacer la transición entre diferentes formas en que puede curvarse en el vacío. Y le permite cambiar "a la manera del vacío" cuando la materia se aleja y le permite cambiar a algo nuevo (no a la manera del vacío) cuando entra la materia.

Eso es realmente lo que está pasando. La curvatura puede ocurrir por sí sola. Es por eso que puedes orbitar algo que está muy lejos, la curvatura aquí se formó hace mucho tiempo cuando las partes colapsadas se movieron más hacia adentro de lo que nosotros nos movimos. Entonces, la galaxia dejó el espacio curvo aquí afuera cuando se formó la galaxia, el sol curvó el solar. sistema cuando se formó el sol, la tierra dejó el espacio alrededor de la tierra curvo cuando se formó la tierra, y es por eso que la luna puede girar alrededor de la tierra como la tierra gira alrededor del sol mientras el sol orbita alrededor del centro galáctico. También es por eso que puedes sentir la gravedad fuera de un agujero negro, el objeto curvó el espacio fuera de sí mismo mientras colapsaba, cada pedazo de materia que caía dejaba la región en un lado curvo de manera diferente que en el otro... ya que eso es lo que hace la materia.