¿Intuición de por qué la masa y la energía curvan la estructura del espacio-tiempo y por qué esta relación es lineal?

Imagina que no conoces ningún tipo de gravedad, solo todas las demás interacciones que puede tener la materia. Cuando escribes una acción en la teoría de campos de Lagrange, puedes usarla para derivar las ecuaciones de movimiento de gravedad cero. Ahora suponga que la gravedad debida a la curvatura del espacio-tiempo es lo único que conoce : nuevamente, lo que sucede se deriva de un principio de acción estacionario. Entonces, ¿cómo hacemos una teoría más completa que use ambas piezas de información? Bueno, solo sumamos dos acciones juntas, con una constante de proporcionalidad que gobierna la fuerza de la gravedad. (En teoría, podría haber un término de interacción adicional en la acción, pero en la relatividad general no lo hay). En resumen, la razón$T_{\mu\nu}-\kappa^{-1}G_{\mu\nu}=0$proviene de variar la acción completa es porque la acción completa es de la forma$S_{\text{Gives}T}-\kappa^{-1}S_{\text{Gives}G}$.

La intuición que buscas probablemente no exista.

Has llegado al fondo de la física.

El nivel empírico.

La física es una ciencia. Esto significa que la máxima autoridad son las observaciones del mundo real. No es posible inferir que la materia distorsiona el espacio-tiempo simplemente sentándose y pensando mucho sobre lo que se siente correcto o intuitivo (eso es misticismo, no ciencia).

Hemos visto manzanas que caen a la Tierra, planetas que orbitan alrededor del Sol e incluso hemos detectado relojes que funcionan a velocidades ligeramente diferentes cuando giran alrededor de la Tierra en satélites GPS. La Relatividad General proporciona una descripción de estos fenómenos en términos de una cosa llamada "espacio-tiempo" que se deforma. No hay nada lógicamente inconsistente en un universo donde la materia no deforma el espacio-tiempo (un universo libre de gravedad), simplemente no es lo que vemos.

Ahora bien, es posible que algún día alguien encuentre algún tipo de teoría más profunda de la que se pueda derivar GR, y tal vez en esa teoría la curvatura surja como resultado de otra cosa. Pero esa teoría más profunda ofrecerá en sí misma algunos postulados que se cocinan específicamente para que coincidan con la observación, tal como lo hace GR con esos tensores. No creo que haya muchas posibilidades de que los postulados de las teorías más profundas sean lógicamente evidentes o intuitivos.

Si considera la dependencia de la curvatura del tensor de masa-energía, entonces el término no nulo de orden más bajo tiene que ser de primer orden para recuperar la gravedad newtoniana en el límite del campo débil.

También es posible tener términos de orden superior, que se volverían no despreciables para campos gravitatorios intensos, como en el universo muy primitivo, poco después del Big Bang. Tales teorías existen y son viables. Incluyen la gravedad f(R) y la gravedad de Brans-Dicke. (La gravedad de Brans-Dicke es equivalente a un cierto tipo de gravedad f (R).) Es cierto, como señaló Bellem en la respuesta, que tales teorías en general contendrán derivadas de orden superior, lo cual es problemático. Pero los teóricos son engañosos y han encontrado formas de hacer que ciertos tipos de gravedad f(R) funcionen para ciertos propósitos.

Hay varias razones:

1. Lo que sabemos es que la materia interactúa. La gravedad, sea lo que sea, es una cierta interacción que es diferente de todas las demás interacciones que conocemos. Entonces debe existir una ecuación para describir la dinámica dada una distribución de materia e ignorando todas las demás interacciones (podemos limitarnos a la interacción EM ya que los otros dos son "efectos cuánticos").
2. El hecho de que el espacio-tiempo sea "curvo" (no en el sentido de la curvatura riemanniana, sino desde una perspectiva demagógica) es una consecuencia natural de buscar una teoría que NO privilegie un determinado sistema de coordenadas. Piense en lo que sucede si cambia las coordenadas en el plano a la superficie de una esfera (por ejemplo, mediante una proyección estereográfica), "curvó" su plano, pero solo porque cambió el punto de vista. Pero, dado que Einstein señaló que la gravedad es una expresión de un cambio de coordenadas, entonces lo que causa la materia es algo bastante similar a lo que hace el cambio de coordenadas. ¡Ergo, el espacio-tiempo debe ser curvado por la materia!
3. La linealidad en la ecuación se debe a que el tensor de Ricci es de segundo orden en la métrica y, como en toda ecuación fundamental de la física, queremos quedarnos en el segundo orden en la solución; Poner órdenes más altos en nuestra ecuación solo debilita nuestro sistema, ya que necesitamos más y más condiciones iniciales fijas, lo cual es un problema bastante difícil a pesar de que nos detuvimos solo en el segundo orden.
4. Finalmente, establecemos$T_{\mu\nu}$y$R_{\mu\nu}$porque necesitamos las "simetrías correctas" en nuestra ecuación de campo y también porque sabemos que donde "no hay materia" hay gravedad en su lugar (por ejemplo, la solución de Schwarzschild), así que para$T_{\mu\nu}=0$todavía queremos la gravedad.