¿La Regla de Collatz 3x+53x+53x+5 tiene un sesgo para ciertos bucles, o mis resultados son defectuosos?

Question

¿La Regla de Collatz 3x+53x+53x+5 tiene un sesgo para ciertos bucles, o mis resultados son defectuosos?

Matemáticas
combinatoria
teoría de los números
conjetura de collatz

Teórico del Grifo697

No hace mucho, estudié una regla de Collatz modificada donde

F (X) = {\begin{cases} 3 X + 5, & si X es impar \\ X / 2, & si X incluso \end{cases}

$f(x)= \begin{cases} 3x+5, & \text{if $x$ is odd} \\ x/2, & \text{if $x$ is even} \end{cases}$

observando las trayectorias de $n$ con un código que escribí. El código calcularía la trayectoria de cada semilla o número inicial $n$ empezando con $1$ hasta que la trayectoria alcanzó un bucle. El código volcará el ciclo en una hoja de cálculo y luego repetirá el proceso para $n+1$ hasta algún límite definido para $n$ fue alcanzado. La hoja de cálculo resultante contiene todos los números iniciales y los bucles en los que terminó cada uno de esos números. No registré las trayectorias originales en la hoja de cálculo.

En este documento de Google, creé gráficos circulares para los tamaños de muestra 100, 1000, 10 000, 100 000 y 1 000 000.

Los resultados se obtuvieron definiendo un tamaño de muestra hasta cierto número, clasificando todos los números según el bucle al que ingresaron sus trayectorias y luego creando proporciones para esas relaciones.

Aquí hay un enlace a los datos sin procesar que generó mi código:

https://drive.google.com/drive/folders/0BzfYa_--3heeNkVpd1NPd090aDA?usp=sharing

(nota: ver el tamaño de muestra de 10 000 funcionó bien para mí, sin embargo, necesitaría descargar los tamaños de muestra de 100 000 y 1 000 000 para verlos)

Los resultados muestran que los porcentajes varían bastante de una muestra a otra, sin embargo, en el esquema general de las cosas, los datos parecen ser algo consistentes. Por ejemplo, mis datos muestran que el ciclo 19 es el final de aproximadamente la mitad de las trayectorias de los números en las muestras. Solo un porcentaje nunca cambió de muestra a muestra; como era de esperar, el ciclo 20-10-5 consistió en 1/5 de todos los valores probados.

No estoy seguro de si este "sesgo de bucle" que observé es una consecuencia de confiar en un tamaño de muestra para empezar, un error humano/de código, o si existe una explicación matemática de lo que hace que ciertos bucles sean más populares que otros. Tengo algunas ideas sobre por qué se produce algún sesgo, sin embargo, no confío en ellas, principalmente porque mis ideas se basan en gran medida en la especulación que no sé cómo probar formalmente.

EDITAR: Aquí están los bucles en orden de aparición:

[1, 8, 4, 2, 1]
[19, 62, 31, 98, 49, 152, 76, 38, 19]
[5, 20, 10, 5]
[23, 74, 37, 116, 58, 29, 92, 46, 23]
[187, 566, 283, 854, 427, 1286, 643, 1934, 967, 2906, 1453, 4364, 2182, 1091, 3278, 1639, 4922, 2461, 7388, 3694, 1847, 73546, 43746, 8 2182 , 2081, 6248, 3124, 1562, 781, 2348, 1174, 587, 1766, 883, 2654, 1327, 3986, 1993, 5984, 2992, 1496, 748, 374, 187]
[347, 1046, 523, 1574, 787, 2366, 1183, 3554, 1777, 5336, 2668, 1334, 667, 2006, 1003, 3014, 1507, 4526, 2263, 6794, 3396, 2019 , 3826, 1913, 5744, 2872, 1436, 718, 359, 1082, 541, 1628, 814, 407, 1226, 613, 1844, 922, 461, 1388, 694, 347]

EDITAR 2:

Estoy de acuerdo en que los números más pequeños pueden ser responsables de sesgar los datos. Por lo tanto, elegí un tamaño de muestra de 100 000 a 1 000 000 para probar esta teoría. Subí los resultados al Google Doc original con los otros gráficos circulares.

Me sorprendió encontrar, bueno, el mismo gráfico. Las proporciones fueron levemente diferentes como de costumbre, pero aparte de eso, no estoy seguro de concluir si esta prueba desacredita la hipótesis o repite el problema de los números pequeños. Podría probar diferentes tamaños de muestra, sin embargo, no sé si es una buena idea o no.

Para brindar una idea de lo que creo que está sucediendo, les mostraré una versión digital de algunas notas que esbocé y explicaré de dónde provienen mis especulaciones.

En mayo, dibujé algunos bocetos de árboles e hice algunas especulaciones sobre lo que observé. Asumí que si un ciclo tenía una rama o una cola proveniente de los números pares originales en el ciclo, entonces el ciclo se conectaría a más números. También asumí múltiplos pares más pequeños (si $n$ es impar, entonces un múltiplo par es $n*2^a$ , dónde $a$ es cualquier valor) ramificación a múltiplos de tres "restringido" el tamaño de los bucles.

Por supuesto, ninguna de estas afirmaciones es objetiva, y mucho menos demostrable. Quería compartirlos en caso de que ocurriera algún patrón matemático interesante o si esta información arrojara luz sobre algo...

Aquí hay una versión digital de mis bocetos.

Nota: los árboles se construyen utilizando el "método Collatz inverso" o " ${(n-1)}/{3}$ , o en este caso, una versión adaptada de ese método. Para dividir $n$ por 2, vaya un número a la izquierda. Multiplicar $n$ por 3 y sume 5, encuentre la parte inferior de la "T", que apunta al siguiente número par.

Advertencia: le mostré esto a un amigo y el bosquejo del árbol los confundió. Si encuentra este boceto confuso, hágamelo saber y volveré a dibujar todo con flechas en su lugar.

Llave:

Si un número par se ramifica, tendrá una "T" encima. El primer número impar en la "T" es el número impar resultante después de aplicar ${(n-5)}/{3}$ . Los siguientes números pares son los múltiplos pares del número impar. (por ejemplo, en el bucle 19, 38 tendrá una "T" sobre él. 11 es el número impar resultante, y los números pares después de 11 son $11*2^1$ , $11*2^2$ , $11*2^3$ , ...
Los números azules son miembros de un bucle.
Los números rojos seguidos de un signo de "no" son múltiplos de 3.
Las "T" moradas conectan el lazo.
Las "T" verdes enfatizan la "cola" o rama adicional.
Las "T" naranjas enfatizan dónde podría haber estado una cola, pero el número se bifurcó a un múltiplo de 3 en su lugar.
Las flechas conectan los extremos separados del bucle.
"..." se utilizan para transmitir números que no se muestran.

Codifiqué con colores el boceto para llamar la atención sobre ciertas propiedades. Pensé que sería más fácil de entender.

Gottfried Helms

Dos comentarios. Primero encontré

6

$6$ bucles, cada uno marcado por uno de los valores que contienen

1, 5, 19, 29, 187, 541

$1,5,19,29,187,541$ . En segundo lugar, creo que la frecuencia relativa de los bucles depende posiblemente de la longitud

N

$N$ de los bucles (medidos en conteo de números impares , generando un

N

$N$ 'ésima potencia de 3 en su fórmula "característica". Pero no estoy completamente seguro de esto, aún no expandí realmente las fórmulas ...

Teórico del Grifo697

Gracias por señalar eso, etiqueté los últimos dos bucles incorrectamente y lo arreglé. En segundo lugar, investigué eso en el pasado y, sorprendentemente, los bucles más largos parecen contener menos números en general. Tracé los bucles en un árbol y encontré que la mayoría de los números impares en los bucles más grandes conducen a callejones sin salida. También sospecho que si usar un tamaño de muestra o tener números más pequeños está sesgando los resultados.

Gottfried Helms

Solo por curiosidad: ¿qué es un "callejón sin salida" aquí?

Teórico del Grifo697

Lo siento por tardar un poco en responder. Revisé dos veces algunas de mis notas y me di cuenta de que especulé demasiado con lo que encontré y, lo que es más importante, necesitaba mostrar los árboles que dibujé. Necesito más tiempo para dibujar los dos bucles más grandes, sin embargo, dejaré un enlace a mis ilustraciones. Para responder a su pregunta, un "callejón sin salida" es simplemente un número que se bifurca a un múltiplo de 3, sin embargo, tenía una idea equivocada en mente cuando dije "... la mayoría de los números impares en los bucles grandes conducen a callejones sin salida. .."

Gottfried Helms

"... el callejón sin salida..." - bueno, esto sería obvio si supiera que sus árboles son una transformación "hacia atrás". Especulé sobre esto, pero no estaba seguro de acuerdo con sus explicaciones. Gracias por la aclaración y felicitaciones por su cuidadosa y seria maniobra en el caos... :-)

Gottfried Helms

He hecho una vista de la generalización a

3 x + r

$3x+r$ las ocurrencias y frecuencias relativas de los ciclos. Es por el momento un borrador, pero tal vez ayude a "abrir los ojos" - al menos para mí si ese estudio ha hecho este trabajo. Si está interesado, consulte go.helms-net.de/math/collatz/Collatz_3x_r.pdf . Trabajaré más en él (también para hacerlo más legible). Creo que ahora puedo volver al problema específico de las frecuencias. después de estar armado con esos nuevos conocimientos.

Teórico del Grifo697

Mirando el pdf, creo que es realmente interesante que los números primos contribuyan a la formación de bucles (

a / 5

$a/5$ = ¿más bucles?). Una vez que tenga en ejecución mi código mucho menos impresionante, continuaré estudiando los diferentes bucles del modificado

3 x + a

$3x+a$ reglas para ver si puedo averiguar por qué

3 x + 5

$3x+5$ tiene más bucles que

3 x + 7

$3x+7$ , o por qué se forman estos bucles en primer lugar. Ya descubrí algunas cosas, como una de las causas de la duración del bucle psssst, ¡es un secreto! , pero aparte de eso, me llevará mucho más tiempo encontrar algo nuevo. ¡Espero con ansias lo que encontremos!

Gottfried Helms

por cierto: pequeña actualización del texto

Gottfried Helms

Un argumento, ¿por qué?

3 x + 5

$3x+5$ tiene más ciclos que

3 x + 7

$3x+7$ se hace visible en las fórmulas 6.b) y 6.c). Asumir

2^{S} - 3^{N} = p

$2^S-3^N=p$ es primo Como está en el denominador el numerador o

r

$r$ debe contener este factor primo para que

a_{1}

$a_1$ puede ser entero. Entonces deja

S = 5, N = 3

$S=5,N=3$ entonces nosotros tenemos

32 - 27 = p = 5

$32-27=p=5$ . Ahora deja

r = 5

$r=5$ Entonces todos los vectores

E_{N, S}

$E_{N,S}$ que no son simplemente rotaciones dan ciclos:

[1, 1, 3]

$[1,1,3]$ ,

[1, 2, 2]

$[1,2,2]$ esto sucede con

2^{S} - 3^{N} = p = 5 = r

$2^S-3^N=p=5=r$ .

2^{S} - 3^{N} = p = 7

$2^S-3^N=p=7$ da

N = 2, S = 4

$N=2,S=4$ y las únicas combinaciones de

E_{N, S}

$E_{N,S}$ son

[1, 3]

$[1,3]$ ,

[2, 2]

$[2,2]$ . Pero

[2, 2]

$[2,2]$ da el ciclo trivial, por lo que tenemos un ciclo menos. Uno puede profundizar en esto

misericordia

algo relacionado: math.stackexchange.com/questions/2241758/…

Tony Jacobs

@ GriffonTheorist697, he trabajado bastante en el problema de Collatz desde este ángulo, y creo que puedo responder algunas de sus preguntas. Me gustaría comparar notas contigo. ¿Estaría dispuesto a mantener correspondencia fuera de MSE?

Tony Jacobs

@GottfriedHelms, si también desea comparar notas, me complacería comunicarme con cualquier persona que esté investigando este aspecto del problema de Collatz.

Gottfried Helms

@GTonyJacobs: También me gustaría comunicarme sobre esto, pero hasta septiembre estoy de vacaciones solo con una cuenta de hotel y solo puedo pensar y escribir sobre matemáticas de manera absolutamente aleatoria. Pero después de eso, creo que podemos establecer alguna línea de comunicación.

Teórico del Grifo697

@GTonyJacobs Estoy feliz de compartir mis notas sobre Meta, pero no sé cuál es la mejor manera de hacerlo. Además, es posible que encuentres mis notas decepcionantes, solo porque mi falta de formación matemática formal se hará extremadamente evidente.

Tony Jacobs

Bueno, tengo una conjetura con respecto a la respuesta a esta pregunta, pero se necesitará algo de codificación para verificar. Tengo algo de código en Python que hace este tipo de cálculo, pero seré el primero en admitir que no soy un programador experto. No estoy seguro de cuál es la mejor manera de comunicarme. Te daría mi dirección de correo electrónico, si te sientes cómodo trabajando de esa manera.

Tony Jacobs

No se preocupe por la falta de capacitación formal. Estaba obteniendo resultados con Collatz antes de tener ningún entrenamiento formal. Si estás en el rastro, estás en el rastro, y estoy feliz de cazar contigo.

Teórico del Grifo697

@GTonyJacobs Verifiqué con soporte meta y dijeron que no podemos usar meta para compartir notas. Sin embargo, sugirieron que puedes abrir una sala de chat. ¿Le gustaría compartir una unidad de Google y agregar notas a eso en su lugar? Puedo invitar a personas a la carpeta de Drive a través de Gmail.

Tony Jacobs

Lo que sea que funcione. Tengo algunas cosas en un pdf que podría cargar en alguna parte.

Teórico del Grifo697

@GTonyJacobs Creé una carpeta de Google para compartir notas. Para acceder necesito tu Gmail para compartirlo contigo. Por favor envíelo a catgriffon3@gmail.com

Respuestas (2)

¿La Regla de Collatz 3x+53x+53x+5 tiene un sesgo para ciertos bucles, o mis resultados son defectuosos?

Dos comentarios. Primero encontré $6$ bucles, cada uno marcado por uno de los valores que contienen $1,5,19,29,187,541$ . En segundo lugar, creo que la frecuencia relativa de los bucles depende posiblemente de la longitud $N$ de los bucles (medidos en conteo de números impares , generando un $N$ 'ésima potencia de 3 en su fórmula "característica". Pero no estoy completamente seguro de esto, aún no expandí realmente las fórmulas ...
Gracias por señalar eso, etiqueté los últimos dos bucles incorrectamente y lo arreglé. En segundo lugar, investigué eso en el pasado y, sorprendentemente, los bucles más largos parecen contener menos números en general. Tracé los bucles en un árbol y encontré que la mayoría de los números impares en los bucles más grandes conducen a callejones sin salida. También sospecho que si usar un tamaño de muestra o tener números más pequeños está sesgando los resultados.
Solo por curiosidad: ¿qué es un "callejón sin salida" aquí?
Lo siento por tardar un poco en responder. Revisé dos veces algunas de mis notas y me di cuenta de que especulé demasiado con lo que encontré y, lo que es más importante, necesitaba mostrar los árboles que dibujé. Necesito más tiempo para dibujar los dos bucles más grandes, sin embargo, dejaré un enlace a mis ilustraciones. Para responder a su pregunta, un "callejón sin salida" es simplemente un número que se bifurca a un múltiplo de 3, sin embargo, tenía una idea equivocada en mente cuando dije "... la mayoría de los números impares en los bucles grandes conducen a callejones sin salida. .."
"... el callejón sin salida..." - bueno, esto sería obvio si supiera que sus árboles son una transformación "hacia atrás". Especulé sobre esto, pero no estaba seguro de acuerdo con sus explicaciones. Gracias por la aclaración y felicitaciones por su cuidadosa y seria maniobra en el caos... :-)
He hecho una vista de la generalización a $3x+r$ las ocurrencias y frecuencias relativas de los ciclos. Es por el momento un borrador, pero tal vez ayude a "abrir los ojos" - al menos para mí si ese estudio ha hecho este trabajo. Si está interesado, consulte go.helms-net.de/math/collatz/Collatz_3x_r.pdf . Trabajaré más en él (también para hacerlo más legible). Creo que ahora puedo volver al problema específico de las frecuencias. después de estar armado con esos nuevos conocimientos.
Mirando el pdf, creo que es realmente interesante que los números primos contribuyan a la formación de bucles ( $a/5$ = ¿más bucles?). Una vez que tenga en ejecución mi código mucho menos impresionante, continuaré estudiando los diferentes bucles del modificado $3x+a$ reglas para ver si puedo averiguar por qué $3x+5$ tiene más bucles que $3x+7$ , o por qué se forman estos bucles en primer lugar. Ya descubrí algunas cosas, como una de las causas de la duración del bucle psssst, ¡es un secreto! , pero aparte de eso, me llevará mucho más tiempo encontrar algo nuevo. ¡Espero con ansias lo que encontremos!
Un argumento, ¿por qué? $3x+5$ tiene más ciclos que $3x+7$ se hace visible en las fórmulas 6.b) y 6.c). Asumir $2^S-3^N=p$ es primo Como está en el denominador el numerador o $r$ debe contener este factor primo para que $a_1$ puede ser entero. Entonces deja $S=5,N=3$ entonces nosotros tenemos $32-27=p=5$ . Ahora deja $r=5$ Entonces todos los vectores $E_{N,S}$ que no son simplemente rotaciones dan ciclos: $[1,1,3]$ , $[1,2,2]$ esto sucede con $2^S-3^N=p=5=r$ . $2^S-3^N=p=7$ da $N=2,S=4$ y las únicas combinaciones de $E_{N,S}$ son $[1,3]$ , $[2,2]$ . Pero $[2,2]$ da el ciclo trivial, por lo que tenemos un ciclo menos. Uno puede profundizar en esto
algo relacionado: math.stackexchange.com/questions/2241758/…
@ GriffonTheorist697, he trabajado bastante en el problema de Collatz desde este ángulo, y creo que puedo responder algunas de sus preguntas. Me gustaría comparar notas contigo. ¿Estaría dispuesto a mantener correspondencia fuera de MSE?
@GottfriedHelms, si también desea comparar notas, me complacería comunicarme con cualquier persona que esté investigando este aspecto del problema de Collatz.
@GTonyJacobs: También me gustaría comunicarme sobre esto, pero hasta septiembre estoy de vacaciones solo con una cuenta de hotel y solo puedo pensar y escribir sobre matemáticas de manera absolutamente aleatoria. Pero después de eso, creo que podemos establecer alguna línea de comunicación.
@GTonyJacobs Estoy feliz de compartir mis notas sobre Meta, pero no sé cuál es la mejor manera de hacerlo. Además, es posible que encuentres mis notas decepcionantes, solo porque mi falta de formación matemática formal se hará extremadamente evidente.
Bueno, tengo una conjetura con respecto a la respuesta a esta pregunta, pero se necesitará algo de codificación para verificar. Tengo algo de código en Python que hace este tipo de cálculo, pero seré el primero en admitir que no soy un programador experto. No estoy seguro de cuál es la mejor manera de comunicarme. Te daría mi dirección de correo electrónico, si te sientes cómodo trabajando de esa manera.
No se preocupe por la falta de capacitación formal. Estaba obteniendo resultados con Collatz antes de tener ningún entrenamiento formal. Si estás en el rastro, estás en el rastro, y estoy feliz de cazar contigo.
@GTonyJacobs Verifiqué con soporte meta y dijeron que no podemos usar meta para compartir notas. Sin embargo, sugirieron que puedes abrir una sala de chat. ¿Le gustaría compartir una unidad de Google y agregar notas a eso en su lugar? Puedo invitar a personas a la carpeta de Drive a través de Gmail.
Lo que sea que funcione. Tengo algunas cosas en un pdf que podría cargar en alguna parte.
@GTonyJacobs Creé una carpeta de Google para compartir notas. Para acceder necesito tu Gmail para compartirlo contigo. Por favor envíelo a catgriffon3@gmail.com

Gottfried Helms · Answer 1

esto aún no es una respuesta, solo un comentario para más ilustración

Parte 1 - Tabla de algunas propiedades del $6$ ciclos conocidos.

actualización: una exposición algo más larga y una tabla más larga en mi página de inicio

Primera columna: $a_\min$ como el elemento más pequeño de un ciclo
segunda columna: frecuencia relativa del tipo de ciclo como cola de una trayectoria. Solo numeros impares $a_1=1$ a $a_1=999 999$ fueron probados.
Tercera columna: $N$ es la duración del ciclo (números impares $a_k$ solo se cuentan)
Cuarta columna: $S$ es suma de exponentes $A_k$ (ver más abajo) o "número de pasos a la mitad"
Quinta columna: deje que la función de transferencia se defina entre números impares $a \to b$ . Entonces $b = (3a+5)/2^A$ . El vector dado es el vector de exponentes $A_k$ de una trayectoria de longitud $N$ .
Para una cierta longitud $N$ puede ser posible más de un vector, no solo por rotación (que da cíclicamente los miembros de un ciclo), sino también, además de las rotaciones puras, por otras combinaciones que tienen el mismo $(N,S)$ lo que da entonces verdaderos ciclos diferentes.

Tabla 3x+5:

a_min   rel freq% N  S  vector of exponents
----------------------------------------
  5     20.0000   1  2  [2]            "trivial cycle"
  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
  1     14.0844   1  3  [3]           because 3*1+r=8=2^3 -> 1

 19     49.6780   3  5  [1, 1, 3]
 29      9.2606   3  5  [2, 1, 2]

187      3.2618  17 27  [1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 5]
347      3.7152  17 27  [1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1, 2, 1, 2, 2]

Note que una estructura muy similar ocurre para $3x+7$ y $3x+13$ y etc problema. Por ejemplo para el $3x+13$ obtenemos la siguiente tabla

Tabla 3x+13:

  a min   relfreq%  N    S   vector                     
  --------------------------------------------------------------------- 
    13  7.692000    1    2  [2]               "trivial cycle"
  ---------------------------------------------------------- 
     1 47.550000    1    4  [4]               // 3*1 + r = 2^4 -> 1 
   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   - 
   211  3.334000    5    8  [1, 1, 1, 1, 4]   // 2^8 - 3^5 = 13 = r 
   259  3.934000    5    8  [1, 1, 1, 3, 2] 
   227  1.880000    5    8  [1, 1, 1, 2, 3] 
   287  4.380000    5    8  [1, 2, 1, 1, 3]  
   251  1.958000    5    8  [1, 1, 2, 1, 3] 
   283  2.506000    5    8  [1, 1, 2, 2, 2] 
   319  1.424000    5    8  [1, 2, 1, 2, 2] 

   131 25.342000   15   24  [1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 5]

Parte 2 - abordando el problema de las diferentes frecuencias relativas

Estoy mirando el árbol al revés que comienza en el elemento de ciclo $19$ vs. que comienza en el ciclo-elemento $29$ Aquí la clave para la mayor frecuencia de ocurrencia de la $19$ El ciclo parece ser que las transformaciones hacia atrás cubren los números más pequeños (impares) en comparación con los del $29$ -ciclo - lo que significa que los números más pequeños se transforman en el $19$ -ciclo comparado con el $29$ -ciclo por el $(3x+5)/2^A$ -mapa. Realmente no puedo formalizar esto para las frecuencias relativas por debajo de un límite superior fijo $N$ por el momento, pero podría dar una buena intuición...

La representación en una línea es la siguiente:

a_parent   [vector A]

vector $A$ está aquí el vector (infinito) de todos los números $a_k$ bajando a $a_\text{parent}$ por una transformación: $a_\text{parent}=(3a_k+5)/2^B$ . Por supuesto, cada elemento de $A$ (excepto los que son divisibles por $3$ ) son padres de otro vector $AA$ . Las primeras dos de estas entradas están documentadas y luego en la siguiente línea, sangrada por algunos espacios más.

Imprimí ese árbol recursivo, que también tiene un subárbol cíclico de ciclo de recursión de $3$ , a una profundidad de $5$ . Para enfocar el aspecto de contener muchos números pequeños, omití los padres más grandes que $1000$ y también sus subárboles aunque esto podría no ser perfectamente correcto, porque ellos mismos pueden tener padres que son más pequeños que $1000$ - pero dejé esto de lado.

El árbol basado en ciclo-elemento $19$ tiene muchos más números pequeños que las bases del árbol en el ciclo-elemento $29$ .

miárbol(19,5)

 31 [19, 81, 329, 1321, 5289, 21161, "..."]
    19 [11, 49, 201, 809, 3241, 12969, "..."]
        11 [13, 57, 233, 937, 3753, 15017, "..."]
            13 [7, 33, 137, 553, 2217, 8873, "..."]
                7 [3, 17, 73, 297, 1193, 4777, "..."]
                    17 [21, 89, 361, 1449, 5801, 23209, "..."]
                    73 [47, 193, 777, 3113, 12457, 49833, "..."]
                    ... [ ...]
                137 [181, 729, 2921, 11689, 46761, 187049, "..."]
                    181 [119, 481, 1929, 7721, 30889, 123561, "..."]
                    ... [ ...]
                553 [367, 1473, 5897, 23593, 94377, 377513, "..."]
                    367 [243, 977, 3913, 15657, 62633, 250537, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            233 [309, 1241, 4969, 19881, 79529, 318121, "..."]
                ... [ ...]
            937 [623, 2497, 9993, 39977, 159913, 639657, "..."]
                623 [829, 3321, 13289, 53161, 212649, 850601, "..."]
                    829 [551, 2209, 8841, 35369, 141481, 565929, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        49 [31, 129, 521, 2089, 8361, 33449, "..."]
            31 [19, 81, 329, 1321, 5289, 21161, "..."]
                19 [11, 49, 201, 809, 3241, 12969, "..."]
                    11 [13, 57, 233, 937, 3753, 15017, "..."]
                    49 [31, 129, 521, 2089, 8361, 33449, "..."]
                    809 [1077, 4313, 17257, 69033, 276137, 1104553, "..."]
                    ... [ ...]
                329 [437, 1753, 7017, 28073, 112297, 449193, "..."]
                    437 [581, 2329, 9321, 37289, 149161, 596649, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            521 [693, 2777, 11113, 44457, 177833, 711337, "..."]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        809 [1077, 4313, 17257, 69033, 276137, 1104553, "..."]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    329 [437, 1753, 7017, 28073, 112297, 449193, "..."]
        437 [581, 2329, 9321, 37289, 149161, 596649, "..."]
            581 [773, 3097, 12393, 49577, 198313, 793257, "..."]
                773 [1029, 4121, 16489, 65961, 263849, 1055401, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    ... [ ...]

miárbol(29,5)

 23 [29, 121, 489, 1961, 7849, 31401, "..."]
    29 [37, 153, 617, 2473, 9897, 39593, "..."]
        37 [23, 97, 393, 1577, 6313, 25257, "..."]
            23 [29, 121, 489, 1961, 7849, 31401, "..."]
                29 [37, 153, 617, 2473, 9897, 39593, "..."]
                    37 [23, 97, 393, 1577, 6313, 25257, "..."]
                    617 [821, 3289, 13161, 52649, 210601, 842409, "..."]
                    ... [ ...]
                121 [79, 321, 1289, 5161, 20649, 82601, "..."]
                    79 [51, 209, 841, 3369, 13481, 53929, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            97 [63, 257, 1033, 4137, 16553, 66217, "..."]
                257 [341, 1369, 5481, 21929, 87721, 350889, "..."]
                    341 [453, 1817, 7273, 29097, 116393, 465577, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        617 [821, 3289, 13161, 52649, 210601, 842409, "..."]
            821 [1093, 4377, 17513, 70057, 280233, 1120937, "..."]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    121 [79, 321, 1289, 5161, 20649, 82601, "..."]
        79 [51, 209, 841, 3369, 13481, 53929, "..."]
            209 [277, 1113, 4457, 17833, 71337, 285353, "..."]
                277 [183, 737, 2953, 11817, 47273, 189097, "..."]
                    737 [981, 3929, 15721, 62889, 251561, 1006249, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            841 [559, 2241, 8969, 35881, 143529, 574121, "..."]
                559 [371, 1489, 5961, 23849, 95401, 381609, "..."]
                    371 [493, 1977, 7913, 31657, 126633, 506537, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    ... [ ...]

Un árbol aún más intuitivo es el mismo árbol pero los valores tomados para

\log_{2} ()

$\log_2()$ . La progresión en los vectores es entonces casi lineal, y los valores de los

19

$19$ -árbol parece un poco más denso que el de la

29

$29$ -tree si seleccionamos una ventana de valores con un límite inferior y superior fijos. ¡Pero no quiero sugerir que esta impresión ya es objetiva y podría responder a su pregunta!

mytreelog(19,5)

 4.95 [4.25, 6.34, 8.36, 10.4, 12.4, 14.4]
    4.25 [3.46, 5.61, 7.65, 9.66, 11.7, 13.7]
        3.46 [3.70, 5.83, 7.86, 9.87, 11.9, 13.9]
            3.70 [2.81, 5.04, 7.10, 9.11, 11.1, 13.1]
                2.81 [1.58, 4.09, 6.19, 8.21, 10.2, 12.2]
                    4.09 [4.39, 6.48, 8.50, 10.5, 12.5, 14.5]
                    6.19 [5.55, 7.59, 9.60, 11.6, 13.6, 15.6]
                7.10 [7.50, 9.51, 11.5, 13.5, 15.5, 17.5]
                    7.50 [6.89, 8.91, 10.9, 12.9, 14.9, 16.9]
                9.11 [8.52, 10.5, 12.5, 14.5, 16.5, 18.5]
                    8.52 [7.92, 9.93, 11.9, 13.9, 15.9, 17.9]
            7.86 [8.27, 10.3, 12.3, 14.3, 16.3, 18.3]
            9.87 [9.28, 11.3, 13.3, 15.3, 17.3, 19.3]
                9.28 [9.70, 11.7, 13.7, 15.7, 17.7, 19.7]
                    9.70 [9.11, 11.1, 13.1, 15.1, 17.1, 19.1]
        5.61 [4.95, 7.01, 9.03, 11.0, 13.0, 15.0]
            4.95 [4.25, 6.34, 8.36, 10.4, 12.4, 14.4]
                4.25 [3.46, 5.61, 7.65, 9.66, 11.7, 13.7]
                    3.46 [3.70, 5.83, 7.86, 9.87, 11.9, 13.9]
                    5.61 [4.95, 7.01, 9.03, 11.0, 13.0, 15.0]
                    9.66 [10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1, 20.1]
                8.36 [8.77, 10.8, 12.8, 14.8, 16.8, 18.8]
                    8.77 [9.18, 11.2, 13.2, 15.2, 17.2, 19.2]
            9.03 [9.44, 11.4, 13.4, 15.4, 17.4, 19.4]
        9.66 [10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1, 20.1]
    8.36 [8.77, 10.8, 12.8, 14.8, 16.8, 18.8]
        8.77 [9.18, 11.2, 13.2, 15.2, 17.2, 19.2]
            9.18 [9.59, 11.6, 13.6, 15.6, 17.6, 19.6]
                9.59 [10.0, 12.0, 14.0, 16.0, 18.0, 20.0]

mytreelog(29,5)

 4.52 [4.86, 6.92, 8.93, 10.9, 12.9, 14.9]
    4.86 [5.21, 7.26, 9.27, 11.3, 13.3, 15.3]
        5.21 [4.52, 6.60, 8.62, 10.6, 12.6, 14.6]
            4.52 [4.86, 6.92, 8.93, 10.9, 12.9, 14.9]
                4.86 [5.21, 7.26, 9.27, 11.3, 13.3, 15.3]
                    5.21 [4.52, 6.60, 8.62, 10.6, 12.6, 14.6]
                    9.27 [9.68, 11.7, 13.7, 15.7, 17.7, 19.7]
                6.92 [6.30, 8.33, 10.3, 12.3, 14.3, 16.3]
                    6.30 [5.67, 7.71, 9.72, 11.7, 13.7, 15.7]
            6.60 [5.98, 8.01, 10.0, 12.0, 14.0, 16.0]
                8.01 [8.41, 10.4, 12.4, 14.4, 16.4, 18.4]
                    8.41 [8.82, 10.8, 12.8, 14.8, 16.8, 18.8]
        9.27 [9.68, 11.7, 13.7, 15.7, 17.7, 19.7]
            9.68 [10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1, 20.1]
    6.92 [6.30, 8.33, 10.3, 12.3, 14.3, 16.3]
        6.30 [5.67, 7.71, 9.72, 11.7, 13.7, 15.7]
            7.71 [8.11, 10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1]
                8.11 [7.52, 9.53, 11.5, 13.5, 15.5, 17.5]
                    9.53 [9.94, 11.9, 13.9, 15.9, 17.9, 19.9]
            9.72 [9.13, 11.1, 13.1, 15.1, 17.1, 19.1]
                9.13 [8.54, 10.5, 12.5, 14.5, 16.5, 18.5]
                    8.54 [8.95, 10.9, 13.0, 15.0, 17.0, 19.0]

el mismo río dos veces · Answer 2

La razón por la que ve las mismas proporciones que convergen en cada ciclo, independientemente de la porción de los números naturales que muestree, es la siguiente:

Cada ciclo tiene un número fijo de afluentes o ramas que se enumeran por los números impares en ese ciclo. Por ejemplo $1,8,4,2,1$ tiene una sucursal. Aunque cada rama es un componente de un bucle, si se sigue a la inversa, también se extiende hacia arriba infinitamente y recibe un número infinito de ramas entrantes.

Cada número impar $x$ puede verse como la raíz de una rama que se extiende hacia arriba y que contiene los números $x,2x,4x,8x,16x,32x\ldots$ . Es el número de esas ramas que se extienden hacia arriba a través de los números enteros, y la frecuencia en la que a su vez tienen más ramas, lo que gobierna la proporción de números enteros en cualquier rango dado que convergen en el ciclo dado.

Cada una de esas ramas, dependiendo de su valor $\equiv\mod 3$ , recibirá sucursales entrantes en ciertos puntos. no estoy familiarizado con el $3x+5$ pero las reglas son generalmente las mismas que las de la conjetura convencional, en la que todos los números impares que son $\equiv0\mod 3$ no reciben tales sucursales entrantes, esas $x\equiv 1\mod 3$ recibir ramas entrantes a cada potencia par de $2$ (es decir $4x,16x,64x,\ldots$ ) y esos $x\equiv 2\mod 3$ recibir ramas en cada potencia impar de $2$ .

Las subramas de cada rama se distribuyen en proporciones exactamente iguales entre 0,1,2 mod 3 y, por lo tanto, las subramas de cada rama dentro de un ciclo aumentan en proporciones iguales a medida que asciende a través de los números enteros.

Una vez que alcance un nivel dentro de los números enteros en el que esté por encima de todos los ciclos, debería encontrar que la proporción de ramas que convergen en cada ciclo está determinada por a) el orden de ese ciclo medido por la cantidad de números impares que contiene yb) las proporciones de los números convergentes a él, que reciben ramas (según el ejemplo que he dado arriba para el CC convencional).

No estoy seguro si la cantidad de números impares determina las proporciones del bucle. Por ejemplo, los datos sugieren que el bucle 19 ocupa más o menos el 49 % de todos los números naturales, mientras que el bucle 23 ocupa alrededor del 9,5 %, aunque ambos bucles comparten la misma cantidad de números impares. En cuanto a las proporciones de los números que convergen en varios bucles, es difícil saberlo. La especulación de que simplemente se conectan más "callejones sin salida" a ciertos bucles sobre otros explicaría esto, sin embargo, también es posible que no se hayan encontrado suficientes ramas para los bucles más grandes debido al uso de un tamaño de muestra.
@ GriffonTheorist697 es una combinación de a) la cantidad de miembros impares del ciclo yb) la proporción de aquellos que reciben subramas. En la conjetura convencional, cada rama recibe sub-ramas para exactamente $2/3$ de sus extraños predecesores inmediatos. por ejemplo, predecesores inmediatos de $1$ son $1,5,21,85,341,1365...$ Exactamente $2/3$ de ellos reciben sub-sucursales entrantes, es decir $1,5,85,341,...$ Si tu $3x+5$ es diferente de lo que debe ser porque diferentes clases de números recibirán ramas entrantes en una proporción variable de sus predecesores impares inmediatos.
@ GriffonTheorist697 Compruebe los predecesores impares inmediatos de $19$ y $23$ y ver lo que son mod $3$ y luego verifique qué proporción de ellos están en el rango de la función $3x+5$
Esta respuesta ciertamente está mirando en la dirección correcta. El predominio del bucle 19 sobre el bucle 23 se explica en gran medida porque $19\equiv 1\pmod 3$ y $23\equiv 2$ . La importancia de ese hecho depende de qué valor de $q$ con el que está trabajando, en cuanto a la $3n+q$ función. Para ver las regularidades, necesita mirar todas las posibles $q$ valores, no sólo uno o dos. Tengo muchos resultados en esta área.
@RobertFrost Estoy de acuerdo en que " $2/3$ " El efecto explicaría que estos bucles crecen proporcionalmente. Sin embargo, dado que ambos bucles parecen crecer simultáneamente, parece ser el $19$ el bucle es más grande. Es posible que el tamaño de la muestra sesgue números más pequeños como los de la $19$ & $1$ bucles porque siempre hay más múltiplos de números más pequeños que valores más grandes cuando hay un límite. Sin embargo, esto no explica por qué la $1$ el bucle es más pequeño que el $19$ bucle (para todos los números naturales). Por lo tanto, el problema es si los tamaños de muestra son el enfoque incorrecto o no para recopilar datos sobre este problema.
@GTonyJacobs En mis bocetos digitales, dibujé la consecuencia de la "cola" adicional conectada a $38$ , sin embargo esto se debe a que 19 $\equiv$ $1$ (modificación $9$ ) y la segunda rama pasa a ser parte del ciclo y no la primera, a diferencia de $37$ en el $23$ bucle. No pude dibujar esto, sin embargo, el $187$ y $347$ los bucles también tienen este efecto extra de "cola" junto con sus otras colas. El problema es si el tamaño de la muestra extrae más números de las colas de los $19$ bucle frente a los de los bucles más grandes.
Veo lo que quieres decir sobre las colas. Supongo que se trata más de qué bucles tienen colas adicionales y qué tan pequeños son los números en ellos.
Cualquier ciclo con un elemento mayor que $2$ en su forma, el vector tendrá colas adicionales, con el número de colas adicionales correspondientes a un elemento vectorial $a$ dada por $\lfloor(a-1)/2 \rfloor$ .

¿La Regla de Collatz 3x+53x+53x+5 tiene un sesgo para ciertos bucles, o mis resultados son defectuosos?

Teórico del Grifo697

Gottfried Helms

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Gottfried Helms

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misericordia

Tony Jacobs

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Respuestas (2)

Gottfried Helms

el mismo río dos veces

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el mismo río dos veces

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Teórico del Grifo697

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