¿La axiomatización en la lógica de orden cero tiene consecuencias importantes?

Esto generalmente se llama universalmente axiomatizable porque todos los axiomas tienen cuantificadores universales implícitos sobre las variables libres. Hay varias buenas propiedades de las teorías universalmente axiomatizables, que se analizan en los libros de introducción a la teoría de modelos.

Por ejemplo, si$M$y$N$son estructuras en un lenguaje de primer orden$L$y$M$es una subestructura de$N$, entonces todo universal$L(M)$oración verdadera en$N$es cierto en$M$. Esto significa que si$N$satisface una teoría universalmente axiomatizada$T$y$M$es una subestructura de$N$entonces$M$también satisface$T$. El teorema de la teoría de modelos de Tarski-Łoś establece lo contrario: una teoría arbitraria de primer orden tiene una axiomatización por oraciones universales si y solo si la clase de modelos de la teoría se cierra bajo estructuras de toma.

Esto implica inmediatamente que, por ejemplo, órdenes parciales en el idioma$(<,=)$tienen una axiomatización universal, porque una subestructura de un orden parcial en ese idioma es nuevamente un orden parcial en ese idioma. Sin embargo, los órdenes parciales densos no tienen una axiomatización universal en ese lenguaje, porque$\mathbb{Z}$en su orden habitual es una subestructura de$\mathbb{Q}$en su orden habitual.

La teoría de campos no es universalmente axiomatizable en la firma habitual de campos$(0,1,+,\cdot, =)$. Esto se debe a que los axiomas que establecen la existencia de inversas no son puramente universales (y$\mathbb{Z}$es una subestructura de$\mathbb{R}$en ese idioma). Si uno trata de eludir esto agregando unario$-$y$^{-1}$funciones, que conduce a otros problemas - por ejemplo, entonces$\mathbb{R}$ya no es un campo en el lenguaje extendido, porque primero se debe especificar un elemento arbitrario para$0^{-1}$y diferentes opciones de$0^{-1}$conducen a estructuras no isomorfas todas correspondientes a$\mathbb{R}$.