La teoría de grupos se puede axiomatizar de la manera habitual, diciendo que deben existir inversos, un elemento unidad y que se debe mantener la asociatividad, o se puede escribir en un "axioma único" como se hace aquí . Esto también se puede hacer para álgebras booleanas , ortolattices y algunas otras estructuras algebraicas. Vale la pena señalar que estas axiomatizaciones parecen estar en un lenguaje con solo una relación binaria, o solo una relación binaria y tal vez una constante. Además, los axiomas mismos parecen ser .
Debería decir que describiría las axiomatizaciones en las que estoy pensando como "no triviales", donde un ejemplo "trivial" sería simplemente tomar la conjunción de los axiomas habituales para cualquier teoría dada. Además, cuanto más simple sea el lenguaje (así como la firma), más interesante encontraría la axiomatización (por ejemplo, un solo axioma en un lenguaje sin constantes es más interesante que uno en un lenguaje con una constante). También cuanto más simple sea la axiomatización (por ejemplo, no (o superior) fórmulas), más interesante.
Entonces, ahora pregunto, ¿cuándo podemos encontrar axiomatizaciones alternativas/alternativas e interesantes para teorías que tienen los mismos modelos (por lo que podrían considerarse similares/la misma teoría)?
Un ejemplo interesante de este fenómeno, aunque lejos de los ejemplos que das, es cuando tenemos una mejora infinita a finita : un conjunto infinito de axiomas que resulta ser finitamente axiomatizable.
Los dos sistemas infinitos de axiomas más comunes son probablemente (módulo pequeñas variaciones) y . Se sabe que ninguna de las teorías es finitamente axiomatizable, ya que en cada caso la teoría prueba la consistencia de cada una de sus subteorías finitas - ver aquí para el caso. Sin embargo, tienen fragmentos que todavía están infinitamente axiomatizados de manera más obvia pero que ahora resultan tener axiomatizaciones finitas, específicamente restringiendo los esquemas relevantes (separación/reemplazo e inducción, respectivamente) a un nivel fijo de una jerarquía apropiada (el Levy y el jerarquías aritméticas , respectivamente). La axiomatabilidad finita de estos fragmentos "acotados" se deriva de la existencia de fórmulas universales en cada clase, como que el problema de la detención es un conjunto ce completo . Este truco de la "fórmula universal" también proporciona una axiomatización finita para muchas otras teorías, por ejemplo, cada uno de los "Cinco Grandes" en matemáticas inversas.
Incluso tenemos un ejemplo natural (más o menos) que no es simplemente un fragmento de una teoría de mejor comportamiento; específicamente, la teoría de conjuntos alternativos de Quine New Foundations y muchas de sus variantes.
Nariz puntiaguda de Riemann
calcetinesgrandes