Grupos de simetría correspondientes a términos en un álgebra

En primer lugar, permítanme señalar que si$\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$contiene cualquier grupo no trivial, entonces contiene grupos finitos arbitrariamente grandes. Esto es solo porque si$t(x_1,\dots,x_n)$tiene grupo de simetría$H$, entonces para cualquier$m$-operación aria$s$el grupo de simetría del término$s(t(x_{11},\dots,x_{1n}),\dots,t(x_{m1},\dots,x_{mn}))$es al menos tan grande como$H^m$(ya que puedes aplicar$H$a cada uno de los conjuntos de$n$variables internas de forma independiente).

Ahora deja$S$ser un conjunto infinito (en realidad, probablemente sea suficiente para$S$para no estar vacío) y dejar$\mathcal{A}$ser el álgebra libre en$S$con una operación binaria conmutativa. afirmo que$\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$consiste enteramente en$2$-grupos.

Para probar esto, tenga en cuenta que podemos pensar en elementos de$\mathcal{A}$como clases de isomorfismo de árboles finitos no vacíos en los que todos los nodos que no son hojas tienen dos hijos (los llamaremos "árboles binarios") junto con un etiquetado de las hojas por elementos de$S$. De manera similar, podemos identificar un término con un árbol binario en el que cada hoja está etiquetada por una de nuestras variables, y dos términos son equivalentes si los árboles etiquetados correspondientes son isomorfos. Fijar un término$t$y deja$T$Sea el árbol binario correspondiente (sin el etiquetado). Dejar$H\subseteq S_n$Sea el grupo de simetría de$t$y deja$G$Sea el grupo de automorfismos de$T$. Tenga en cuenta que una permutación$\sigma\in S_n$es en$H$si existe un automorfismo$f:T\to T$que envía cada hoja etiquetada$i$a una hoja etiquetada$\sigma(i)$. Dejar$G_0\subseteq G$sea ​​el subgrupo formado por automorfismos$f$que tienen esta propiedad para algunos$\sigma\in S_n$. Entonces tenemos un homomorfismo sobreyectivo$G_0\to H$enviando$f$a$\sigma$(esto está bien definido debido al requisito de que cada variable debe aparecer realmente en$t$).

Entonces, para mostrar que$H$es un$2$-grupo, basta con demostrar que$G_0$es un$2$-grupo, y para eso, basta mostrar que$G$es un$2$-grupo. En otras palabras, es suficiente mostrar que el grupo de automorfismos de cualquier árbol binario es un$2$-grupo. Esto es fácil por inducción sobre el tamaño del árbol. El caso base de una sola hoja es trivial. Para el paso de inducción, supongamos que tenemos un árbol binario$T$que consta de una raíz con dos subárboles$T_0$y$T_1$debajo de él, y ya conocemos los grupos de automorfismos de$T_0$y$T_1$son$2$-grupos. Hay un homomorfismo$\operatorname{Aut}(T)\to S_2$que envía un automorfismo de$T$a como se permuta$\{T_0,T_1\}$. El núcleo de este homomorfismo consiste en los automorfismos de$T$ese mapa de cada uno de$T_0$y$T_1$a sí mismos, lo cual es solo$\operatorname{Aut}(T_0)\times\operatorname{Aut}(T_1)$. Ya que ambos$S_2$y$\operatorname{Aut}(T_0)\times\operatorname{Aut}(T_1)$son$2$-grupos, se sigue que$\operatorname{Aut}(T)$es un$2$-grupo.

(Más generalmente, en lugar de una única operación binaria conmutativa, podría considerar una colección arbitraria de operaciones que han dado grupos de simetría$G_i$en sus entradas. Entonces un argumento similar debería mostrar que si$\mathcal{A}$es un álgebra libre sobre infinitos generadores con respecto a tales operaciones, los órdenes de los elementos de$\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$solo puede ser divisible por números primos que dividen a algunos$|G_i|$.)