¿La aritmética que utilizan la mayoría de los matemáticos es una lógica modelada dentro de un primer o segundo orden?

A menudo leo que la aritmética en lógica de primer orden tiene problemas y realmente quieres hacerlo en lógica de segundo orden.

Sin embargo, ¿no están escritos los axiomas de Zermelo-Fraenkel en el lenguaje de la lógica de primer orden?

Sí, pero la mayoría de los matemáticos no verifican si lo que están haciendo se puede formalizar en ZF.
@NickKidman: Lo que algunos podrían llamar problemas de lógica de primer orden, prefiero llamar funciones , funciones realmente útiles.
@Andre: ¿Fue pionero en el conocido eslogan de alta tecnología " no es un error, es una característica "? :-)
@AsafKaragila: ¿Por qué ser pionero cuando puedes robar?

Respuestas (1)

Tenga en cuenta que ZFC es una teoría lo suficientemente fuerte como para probar la aritmética de segundo orden. Entonces, si acepta tomar ZFC como su punto fundamental, tomar PA de segundo orden para la aritmética no debería presentar ningún problema.

Esta es una de las razones por las que la teoría de conjuntos es una buena base fundamental para las matemáticas, ya que permite que las fórmulas de segundo orden (y superiores) funcionen a través de fórmulas de primer orden en el universo de la teoría de conjuntos.

Otras lecturas:

  1. ¿Ventaja de la lógica de primer orden sobre la lógica de segundo orden ?
  2. ¿Cuál es la relación entre ZFC y la lógica de primer orden?
  3. Lógica de primer orden frente a lógica de segundo orden
Gracias, lecturas interesantes. Sin embargo, encuentro que la "teoría de segundo orden elaborada en la teoría de primer orden" sigue siendo misteriosa. Parece que lo único que realmente se pierde al considerar la alternativa de primer orden es la determinación de la interpretación o algo así. Entonces me resulta difícil ver por qué uno sería capaz de decir "sabemos la declaración en esta teoría, por lo que la conocemos en la otra": Identificar dos declaraciones en dos teorías diferentes (que difieren en cierto modo) entre sí suena sospechoso para mí. Sin embargo, podría ser una cosa filosófica.
¿La aritmética que utilizan la mayoría de los matemáticos es una lógica modelada dentro de un primer o segundo orden?
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