λ=2hpλ=2hp\lambda=\frac{2h}{p} en lugar de λ=hpλ=hp\lambda=\frac{h}{p}?

I) Hay que distinguir entre la velocidad de grupo

$$v_g~=~\frac{\partial E}{\partial p}~=~v,$$

y la velocidad de fase

$$v_p~=~\frac{E}{p}~=~\left\{ \begin{array}{cl} \frac{v}{2} & \text{in non-rel. QM (Schr. eq.) where}~ E~=~ \frac{p^2}{2m}, \cr \frac{c^2}{v}& \text{in rel. QM, QFT (Dirac eq., KG. eq.) where}~ E~=~ \sqrt{(pc)^2+(m_0 c^2)^2}. \end{array}\right.$$

de una onda de materia. (Véase también la página de Wikipedia sobre las relaciones de De Broglie . La velocidad de fase$v_p$es sensible a donde se pone el cero de la escala de energía. En las teorías no relativistas, se suele trabajar con la energía cinética (=energía total menos energía en reposo). Para una reducción de Klein-Gordon eq. a Schrödinger eq., véase, por ejemplo, A. Zee, QFT in a Nutshell, Cap. III.5, y esta publicación de Phys.SE.)

II) Entonces, la respuesta a la pregunta de OP (v4) es que su primera relación es correcta, su segunda relación debería leer

$$v_p~=~\lambda f,$$

y en el caso relativista, la energía cinética en su tercera relación debe ser reemplazada por la energía total.

Esta historia en realidad comienza con el artículo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico. Einstein propuso que para las ondas de luz,$E \propto f$, con una constante de proporcionalidad que finalmente se conoció como$h$. Usando la relación$E = pc$de la relatividad especial, se puede deducir que$pc = hf$, y con$\lambda f = c$usted obtiene$\lambda = \frac{h}{p}$. Recuerde, sin embargo, que hasta ahora esto solo se aplica a la luz . La idea de de Broglie fue utilizar la misma relación para definir la longitud de onda de una partícula en función de su momento.

Entonces, ¿dónde falla tu derivación? El paso clave es$v = \lambda f$, que se aplica a una onda , no a una partícula. Como dice Qmechanic, la velocidad de la onda no es lo mismo que la velocidad de la partícula. (La primera es la velocidad de fase y la segunda es la velocidad de grupo).

A pesar de$\lambda = \frac{h}{p}$se tomó originalmente como una suposición, puede trabajar hacia atrás (o hacia adelante, según su punto de vista) y derivarlo de una teoría cuántica más general. Por ejemplo, suponga que comienza con la ecuación de Schroedinger en el espacio libre,

$$i\hbar\frac{\partial \Psi(t,x)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(t,x)}{\partial x^2}$$

Las soluciones a esta ecuación toman la forma

$$\Psi(t,x) = \sum_n C_n\exp\biggl(-\frac{i}{\hbar}\bigl(E_nt \pm x\sqrt{2mE_n}\bigr)\biggr) = \sum_n C_n\exp\biggl[-i\biggl(\omega_nt \pm k_nx\biggr)\biggr]$$

Esta es una onda con múltiples componentes individuales, cada uno con una frecuencia angular

$$\omega_n = E_n/\hbar$$ y número de onda $$k_n = \frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}$$ o equivalentemente, frecuencia $$f_n = E_n/h$$ y longitud de onda $$\lambda_n = \frac{h}{\sqrt{2mE_n}}$$ Para llegar a la relación de De Broglie, necesitas encontrar una expresión para el impulso que lleva la onda. Esto se hace usando el operador de cantidad de movimiento $\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$en $\hat{p}\Psi = p\Psi$. La cuestión es que solo funciona para una función de onda con un componente. Así que si (y sólo si) todos los $C_n$son cero excepto uno, puedes obtener

$$p_n = \mp\hbar k_n = \mp\sqrt{2m E_n}$$

y si pones eso junto con la definición de$\lambda_n$, usted obtiene$\lambda_n = \frac{h}{p_n}$.

Puede parecer un problema que este procedimiento solo funcione para ondas de un solo componente. Sin embargo, está bien, porque la onda en realidad no tiene una sola longitud de onda bien definida de todos modos a menos que consista en un solo componente. Este es un punto clave: cada vez que se habla de la longitud de onda de una partícula, o más precisamente, de la longitud de onda de la onda de materia asociada con una partícula, se supone implícitamente que la onda de materia tiene un solo componente de frecuencia. Esta es generalmente una aproximación útil para partículas reales, pero nunca es exactamente cierta.

La energía$E$en este caso es la energía total, es decir, la energía cinética más la energía de la masa en reposo. Para un fotón no hay contribución de la masa en reposo porque la masa en reposo es cero, pero para una partícula masiva necesitas considerar ambos términos. La energía$E$viene dada por (esta es la expresión relativista por lo que se aplica tanto a fotones como a partículas masivas):

$$E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4$$

También podemos escribir$E$como la suma de la energía cinética y la energía de la masa en reposo:

$$E = KE + m_0c^2$$

Igualando las dos expresiones para la energía se obtiene:

$$KE^2 + 2KEm_0c^2 + m_0^2c^4 = p^2c^2 + m_0^2c^4$$

o con un reordenamiento rápido:

$$p^2 = \frac{KE}{c^2} (KE + 2m_0c^2)$$

Tenga en cuenta que obtenemos comportamientos muy diferentes para el fotón y las partículas masivas. por un fotón$m_0$es cero por lo que la expresión se reduce a:

$$p^2 = \frac{KE^2}{c^2}$$

y ajuste$KE = hc/\lambda$inmediatamente da$p = h/\lambda$o$\lambda = h/p$. Sin embargo, para una partícula masiva, la energía cinética normalmente es pequeña en comparación con el resto de la masa, por lo que esta vez nuestra expresión se simplifica a:

$$p^2 \approx \frac{\space KE}{c^2}2\space m_0c^2 \approx 2\space KE \space m_0$$

El último paso es volver a la relación de De Broglie:

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

y sustituir$p$usando la ecuación anterior para obtener:

$$\lambda \approx \frac{h}{\sqrt{2 \space KE \space m_0}}$$

Finalmente use la aproximación de baja energía.$KE = 1/2m_0v^2$para sustituir a KE y esto da:

$$\lambda \approx \frac{h}{\sqrt{2 \space \frac{1}{2}m_0v^2 \space m_0}} \approx \frac{h}{m_0v}$$

y por supuesto$m_0v$es solo el impulso no relativista.

Su error está en la identificación de símbolos. La velocidad de fase es$v_p={E \over p}={\omega \over k}={\nu \lambda}$, mientras que la velocidad del grupo es$v_g={\partial E\over \partial p}={\partial \omega\over \partial k}$

$$E=\hbar \omega$$ y $$p=\hbar k$$

En relatividad galileana$E={p^2 \over 2m}$

$$v_g= {\partial\omega \over \partial k } = {\hbar k\over m} = {p\over m}=2{\omega \over k}=2v_p$$

La velocidad de grupo es el doble de la velocidad de fase.

Sin embargo, en relatividad especial:

$$v_g= {\partial\omega \over \partial k } = {\partial \sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2} \over \partial p }= {pc^2\over \sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2}}={c^2 \over v_p}$$

La velocidad de grupo va con la inversa de la velocidad de fase.