El momento de un fotón es igual a la constante de Planck sobre la longitud de onda

Parece que no está satisfecho con las respuestas que involucran axiomas. Creo que, en cambio, desea conocer la motivación detrás del axioma más allá de solo decir que funciona. No estoy seguro si mi respuesta es la motivación original, pero creo que puede verse como una buena motivación para la validez de$p= \frac{h}{\lambda}$. Si bien otras respuestas hacen un gran trabajo al entrar en la teoría, abordaré la pregunta con una motivación más experimental.

Primero comenzaremos con el experimento de la doble rendija . Este experimento generalmente se presenta por primera vez como evidencia de la naturaleza ondulatoria de la luz, donde la luz que emana de una rendija interfiere con la luz que emana de la otra (por supuesto, se encuentra una interpretación diferente si enviamos fotones individuales a través de las rendijas y la misma interferencia surge el patrón, pero estoy divagando). Sin embargo, este experimento también funciona con electrones. Obtiene un patrón de interferencia consistente con el tratamiento de los electrones como ondas con longitud de onda

$$\lambda=\frac hp$$

Obtienes máximos en intensidad tal que

$$\sin\theta_n=\frac{n\lambda}{d}$$

Dónde$\theta$es el ángulo formado por el máximo central, la rendija y el máximo en cuestión,$d$es la separación de rendijas, y$n$es un número entero.

Entonces, esta sería una forma de motivar/verificar experimentalmente esta relación entre el momento y la longitud de onda para la materia, pero ¿qué pasa con los fotones? El experimento de la doble rendija no nos da una forma de validar$p=\frac h\lambda$(que yo sepa. ¿Tal vez podrías determinar la presión de radiación en el detector?). Veamos un experimento diferente.

Sabemos que la energía de un fotón de la relatividad especial es

$$E=pc$$

Entonces, si nuestra relación de cantidad de movimiento es verdadera, debe ser que

$$E=\frac{hc}{\lambda}=hf$$ lo cual es algo que se puede verificar experimentalmente para ser cierto. El efecto fotoeléctrico es uno de esos experimentos que podríamos hacer, donde la luz brillante sobre un material hace que se emitan electrones u otros portadores de carga desde ese material. Cuanto mayor sea la frecuencia de la luz, más energéticos serán los electrones que provienen del material, y se puede demostrar que sigue la energía cinética máxima de un electrón.$K_{max}=h(f-f_0)$dónde$f$es la frecuencia de la luz y$f_0$es la frecuencia umbral dependiente del material (es decir, necesitamos$f>f_0$).

Sé que mi respuesta no llega a una explicación fundamental de esta relación en cuestión, pero espero que muestre por qué uno querría que fuera una idea fundamental que se cumple al formular QM. Si desea una explicación más fundamental, editaré o eliminaré esta respuesta debido a algunas respuestas fundamentales bastante buenas que ya están aquí.

Pasando por alto muchas sutilezas:

Un axioma fundamental de la mecánica cuántica es la relación de conmutación canónica$[\hat{X}, \hat{P}] = i \hbar$. En esta base de posición, esto se convierte en$\hat{X} \to x$y$\hat{P} \to -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$(módulo de muchos detalles técnicos relacionados con el teorema de Stone-von Neumann, etc.).

Otro axioma fundamental de la mecánica cuántica es que los estados con valores definidos de un observable físico deben ser estados propios del operador hermitiano correspondiente. Así que una partícula con impulso$p$se describe mediante una función de onda$|p\rangle$satisfactorio$\hat{P} |p\rangle = p |p\rangle$. (Si podemos hablar legítimamente sobre la función de onda de una partícula relativista sin masa es otra sutileza que pasaré por alto).

Poniendo esto junto, tenemos eso en la base de posición

$$-i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} = p \psi(x) \implies \psi(x) \propto e^{i p x / \hbar}.$$ Entonces la función de onda es espacialmente periódica con período$\lambda = 2 \pi \hbar / p = h / p$, entonces$p = h / \lambda$. Esta "derivación" funciona igualmente bien ya sea que la partícula sea o no masiva o sin masa.

Me basaré en la respuesta de tparker de una manera que enfatice la gran generalidad de la relación entre el impulso y la longitud de onda.

En la física clásica, un resultado muy general llamado teorema de Noether puede usarse como base para una definición de momento. Las entradas al teorema de Noether son:

• el principio de acción : traducido libremente, dice que si una entidad física influye en otra, entonces ambas deben influirse entre sí;
• cualquier simetría continua , como la simetría rotacional o la simetría de traslación del tiempo.

El teorema de Noether dice que estas entradas implican la existencia de una ley de conservación asociada con la simetría dada. Por ejemplo, la simetría rotacional conduce a la conservación del momento angular y la simetría de traslación del tiempo conduce a la conservación de la energía. Estas conexiones pueden considerarse como las definiciones de momento angular y de energía, respectivamente.

Si la simetría es simetría bajo traslaciones en el espacio , lo que significa aproximadamente que las leyes de la física son las mismas en todos los lugares, entonces la ley de conservación resultante es la conservación de la cantidad de movimiento , es decir, la cantidad de movimiento total del sistema. Esta conexión puede considerarse como la definición de impulso.

En un modelo que incluye el campo electromagnético, esta definición de impulso incluye una contribución del campo electromagnético, y de cualquier otra cosa que participe en el principio de acción al influir (y ser influenciado por) otras entidades.

En la física cuántica, estas mismas conexiones generales vienen con otro giro: para cada una de estas simetrías, tenemos un operador que genera esas simetrías (más detalles a continuación), y este operador es la representación de la teoría cuántica de la cantidad conservada correspondiente. En particular, el operador de cantidad de movimiento genera traslaciones en el espacio. Más precisamente, este es el operador de momento total , que genera traslaciones de todo el sistema físico en el espacio. Este operador es un ingrediente básico en cualquiersistema cuántico cuyas leyes son las mismas en todos los lugares. Esto es cierto tanto en la mecánica cuántica no relativista como en la teoría cuántica de campos relativista. Aunque el concepto de una partícula sin masa involucra la relatividad, la conexión entre el momento y la simetría de traslación espacial no se basa en la relatividad.

Ahora, como se prometió, aquí hay más detalles sobre lo que significa decir que el operador de impulso "genera traslaciones en el espacio". Como en la respuesta de tparker, dejemos$\hat P$denote cualquier componente individual del operador de momento, que genera traslaciones en esa dirección en el espacio. La respuesta de tparker ya ilustró esto muy bien en el caso de la mecánica cuántica de partículas individuales. Para otro ejemplo, consideraré cómo se describe un fotón sin masa en el modelo cuántico del campo electromagnético. En este modelo, en lugar de tener un operador$\hat X$para la posición de una sola partícula, tenemos operadores de campo como$\hat E(x)$y$\hat B(x)$representando los campos eléctrico y magnético. Estos operadores parametrizados por la ubicación$x$en el espacio. Estoy omitiendo sus índices vectoriales para evitar saturar las ecuaciones.

Ahora, un fotón es una partícula que, matemáticamente, se crea aplicando una combinación lineal apropiada de$\hat E(x)$y$\hat B(x)$al estado de vacío. Tal estado de fotón único puede escribirse en la forma

$$|1\rangle = \int dx\ \big(f(x)\hat E(x) + g(x) \hat B(x)\big)|0\rangle$$ dónde$|0\rangle$es el estado de vacío y donde$f$y$g$son funciones apropiadas de valor complejo de la coordenada espacial$x$. Dado cualquier estado de fotón único, podemos trasladar el fotón en el espacio en una cantidad$a$aplicando el operador$\exp(i\hat P a/\hbar)$, como esto: $$\begin{align*} \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)|1\rangle &= \int dx\ \big(f(x)\hat E(x+a) + g(x) \hat B(x+a)\big)|0\rangle \\ &= \int dx\ \big(f(x-a)\hat E(x) + g(x-a) \hat B(x)\big)|0\rangle. \end{align*}$$ El segundo paso sigue simplemente cambiando la variable de integración. El primer paso se sigue de $$\begin{align*} \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\hat E(x) &= \hat E(x+a)\exp\big(i\hat P a/\hbar\big) \\ \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\hat B(x) &= \hat B(x+a)\exp\big(i\hat P a/\hbar\big) \end{align*}$$ que es lo que significa decir que$\hat P$genera traducciones, junto con $$\hat P\,|0\rangle = 0 \hskip1cm \Rightarrow \hskip1cm \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\,|0\rangle = |0\rangle,$$ lo que dice que el estado de vacío es invariante bajo traslaciones. Desde$\hat P$es también el operador de momento por definición (como en la perspectiva del teorema de Noether descrita anteriormente), diciendo que un fotón tiene un solo momento$p$equivale a decir que el estado$|1\rangle$satisface $$\hat P\,|1\rangle = p\,|1\rangle.$$ (Por cierto, la otra ecuación$\hat P\,|0\rangle=0$que se muestra arriba dice que el estado de vacío tiene impulso cero.) Esto implica $$\exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\,|1\rangle = \exp\big(i p a/\hbar\big)\,|1\rangle.$$ Por sí mismo, esto no es concluyente, porque en un estado de un solo fotón, no hay nada más con lo que el fotón interactúe que pueda revelar su longitud de onda. Sin embargo, los mismos principios aún se aplican cuando consideramos un fotón en el contexto de algún tipo de interferómetro, y luego el hecho de que la fase del fotón oscila como$\exp(i p a/\hbar)$tiene consecuencias observables. En particular, trasladar el fotón a través de una distancia$a$tal que$pa/\hbar = 2\pi$es lo mismo que multiplicar su estado por$\exp(2\pi i)=1$. En otras palabras, su longitud de onda es $$\lambda=2\pi\frac{\hbar}{p} = \frac{h}{p}.$$ Aunque la idea de un fotón sin masa se basa en la relatividad, la idea de que el momento y la longitud de onda de una partícula están relacionados de esta manera no lo hace. Esta relación se deriva del hecho muy general de que el operador de cantidad de movimiento genera traslaciones en el espacio, ilustrado aquí usando un modelo del campo electromagnético e ilustrado por tparker usando mecánica cuántica de partículas individuales.

Por conveniencia, deje$k=2\pi/\lambda$y$\omega=2\pi f$. Aquí$k$se llama vector de onda y$\omega$es una versión de la frecuencia que está en unidades de radianes por segundo en lugar de oscilaciones por segundo.

Entonces tenemos las siguientes dos relaciones completamente análogas:

$$p=\hbar k$$

$$E=\hbar \omega .$$

La analogía es válida porque, en relatividad, la cantidad de movimiento es al espacio lo que la energía es al tiempo.

si asumes$p=\hbar k$, entonces hay argumentos sencillos que conducen a$E=\hbar \omega$. si asumes$E=\hbar \omega$, hay argumentos similares que te llevan a$p=\hbar k$. No son independientes entre sí. Si crees en uno y crees en la relatividad, entonces tienes que creer en el otro.

Estas son relaciones fundamentales que se cumplen en toda la mecánica cuántica. No solo son ciertas para los fotones, son ciertas para los electrones y las pelotas de béisbol.

Con preguntas de "por qué" como esta, debe decidir qué quiere tomar como una suposición fundamental. Hay tratamientos de la mecánica cuántica que toman varios conjuntos de axiomas. Según el conjunto de axiomas que elija, estas relaciones podrían derivarse o podrían ser axiomas. Si alguien le dice que tiene una prueba de una de estas relaciones, debe preguntarles de qué supuestos partieron y luego preguntarse si encuentra los supuestos más sólidos que estas relaciones. ¿Son los supuestos más intuitivamente razonables? ¿Mejor verificado por experimento? ¿Estéticamente preferible?

Ok, esta no es una respuesta directa real a la pregunta, sino solo una reacción a uno de los comentarios de OP. Mi comentario fue demasiado largo para caber en un comentario, así que lo puse en una respuesta, lo siento por eso. S. rotos dijo que tenía un problema con una de las respuestas porque: "sí, hay ciertas cosas que son axiomas y no se derivan realmente por así decirlo, pero todavía debe haber algún tipo de intuición o justificación. No solo aparecer de la nada"

Pero creo que a veces (¿a menudo?) lo hacen.

En realidad, si seguimos la corriente histórica de pensamiento sobre este asunto, deberíamos recordar a Planck que estaba trabajando para resolver la catástrofe UV. Estaba tratando desesperadamente de describir la radiación del cuerpo negro a través de la mecánica estadística. Fuera de la idea, probó la hipótesis de que las radiaciones se emitían en haces discretos de energía E=hf. Una idea que surgió (casi) de la nada, como él mismo admitió (al menos, sin ninguna justificación física ). No le atribuyó ningún significado físico y lo consideró un mero truco matemático.

Einstein, reconociendo lo bien que el resultado de Planck describía los resultados experimentales, declaró más tarde que, de hecho, había un significado físico en todo esto. Lo interpretó como la afirmación de que la luz también podría comportarse como una partícula discreta con una energía dada. Muchos consideran que esta idea es el comienzo de la mecánica cuántica. Más tarde, De Broglie retomó esta idea y la reflejó: dijo que si una "onda" como la luz podía describirse como una "partícula", entonces una "partícula" como un electrón podría describirse como una "onda". Esta equivalencia se realiza a través de la famosa relación de la que estamos hablando, y que se puede considerar como una consecuencia natural de la relación E=hf, como se ha explicado en otra respuesta

Entonces, como puede ver, ¡podemos decir bastante bien que la hipótesis "E=hf" surgió de la nada! Definitivamente no es una afirmación intuitiva: iba en contra de todas las intuiciones de la época. Solo una hipótesis que estaba funcionando tan condenadamente bien que tratamos de darle algún sentido... Y se nos ocurrió la mecánica cuántica. Creo que es algo que tienes que tomar primero como un truco matemático, luego confirmado por un hecho experimental.

Tratar de encontrar un principio intuitivo para algo que, en esencia, es tan contrario a la intuición como QM es, en mi opinión, un intento desesperado. Todas esas "paradojas" y comportamientos dementes a escala cuántica tienen que venir de algo que está al menos un poco jodido, ¿no crees?

La idea de que la física debería ser intuitiva es algo con lo que generalmente no estoy de acuerdo. Si lo fuera, viviríamos en una tierra plana, con un sol dando vueltas alrededor. Eso es intuición allí mismo: D