¿Pueden las partículas en reposo tener naturaleza ondulatoria?

En mecánica cuántica, las partículas no pueden estar en reposo absoluto debido al principio de incertidumbre de Heisenberg. Una partícula mecánica cuántica no es ni una onda clásica ni una partícula clásica. La pregunta debería ser si manifiesta su naturaleza de partícula o su naturaleza de onda y eso depende de cómo lo pruebes.

Creo que las respuestas anteriores transponen el concepto clásico de "partícula en reposo" demasiado literalmente al dominio de la mecánica cuántica.

Si concebimos una "partícula mecánica cuántica en reposo" como aquella que

a) es conceptualmente equivalente a una partícula puntual clásica y, por lo tanto, está completamente localizada en un solo punto en el espacio,$\langle x\rangle = x_0$y$\langle \Delta x^2 \rangle = 0$,

y

b) tiene un impulso precisamente nulo en relación con el marco considerado,$\langle p \rangle = 0$y$\langle \Delta p^2 \rangle = 0$,

entonces obviamente entramos en conflicto inmediato con el Principio de Incertidumbre, como ya notaron las otras respuestas ($\langle \Delta x^2 \rangle \langle \Delta p^2 \rangle = 0 < \hbar$).

Sin embargo, si prescindimos de la especificación de "partícula puntual" y eliminamos la primera declaración como completamente inaplicable en el contexto cuántico, podemos relajar la segunda declaración anterior a la siguiente definición aceptable en términos de promedios:

"Se dice que una partícula libre está en reposo en un marco inercial donde su momento relativo promedio es nulo".

En el límite no relativista esto significa que la posición media no cambia (¡partícula libre!), ya que$\langle {\vec p} \rangle = 0$implica

Nota : para las partículas relativistas, definir un operador de posición de buen comportamiento se convierte en un problema, pero definir un "marco de reposo" en términos de momento promedio nulo funciona bien.

Clásicamente, las partículas en "reposo" tienen una energía en reposo debido a su masa en reposo, E = mc^2, y puedes asociar una frecuencia f a esta energía por E = (hbar)*f así como una longitud de onda asociada, conocida como Longitud de onda Compton.

Sin embargo, en la mecánica cuántica, la noción de una partícula "estando en reposo" es casi insignificante, por el principio de incertidumbre. Más detalladamente, la función de onda de una partícula en reposo sería una función delta de Dirac, que, según el análisis de Fourier, es una integral (o una superposición, si se prefiere) de los estados propios del momento, cada uno contribuyendo con la misma amplitud y la integral es sobre todo el espacio de cantidad de movimiento.

Entonces, sí, en teoría, las partículas en reposo tienen una naturaleza ondulatoria, como una superposición de estados propios de impulso que contribuyen por igual (exp (ikx)) en todo el rango de impulso. Pero ves que tal caso introduce una incertidumbre infinita en el momento de la partícula.

En mecánica cuántica, nos encontramos con el concepto de una partícula "en reposo" en el estudio de la ecuación de Dirac (cuando transformamos al sistema de reposo del electrón). Para simplificar, consideremos una sola dimensión espacial. La función de onda de una partícula "en reposo" puede estar dada por$\Psi(x,t)=Ae^{-\frac{iEt}{\hbar}}$. La partícula tiene velocidad cero (o, más acertadamente, impulso cero):$\hat p\Psi = -i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial x}=-i\hbar(0)=0$. Tiene una energía total igual a su energía en reposo.$E=mc^2$. La partícula se encuentra en la posición$x$:$\hat x\Psi=xAe^{-\frac{iEt}{\hbar}}=x\Psi$, dónde$-\infty < x < +\infty$.

La probabilidad de encontrar la partícula en cualquier posición es uniforme. Claramente, la función de onda no es normalizable:$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x)|^2dx=A^2\int_{-\infty}^{\infty}dx \rightarrow \infty$. Por lo tanto, parece, a primera vista, que no podemos, con certeza, ni siquiera construir una función de onda que corresponda a una sola partícula "en reposo" (más generalmente, esta sería una partícula libre con cualquier cantidad de movimiento constante$p$). Sin embargo, eso no es verdad. En este caso particular, el aparente fracaso tiene que ver con el hecho de que hemos elegido coordenadas (cartesianas) con extensión infinita en una dirección espacial.

Podemos hacerlo mejor envolviendo el espacio de configuración alrededor de un anillo o círculo finito$S^1$de radio$R$. Por ejemplo, una partícula libre en un anillo de radio$R$en el estado fundamental$n=0$tiene una función de onda$\Psi(\theta,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega t}$. Esto por el contrario es normalizable:$\int_{0}^{2\pi}|\Psi(\theta)|^2d\theta=\left. \frac{\theta}{2\pi} \right|^{2\pi}_0=1$. Tenga en cuenta que la partícula está "en reposo":$\hat L_z\Psi=-i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}=-i\hbar(0)=0$. Encontrar la partícula en cualquier posición$\theta$en el ring es equiprobable.

Calificamos que una partícula está "en reposo" diciendo que está ubicada en una posición$q$con una velocidad (o cantidad de movimiento)$p=0$. En la mecánica cuántica, tales declaraciones tienden a hacer sonar las alarmas, ya que los operadores asociados con los observables de posición y momento no conmutan.$[\hat p,\hat q]\neq 0$, por lo tanto, estas cantidades no se pueden medir simultáneamente con precisión arbitraria.

Sin embargo, el hecho de que no sepamos la posición precisa de la partícula antes de una medición no significa que no podamos decir que está "en reposo". Para tal sistema (como el anterior), cada medición en la que ubicamos la partícula en la posición$q$corresponderá a un estado de impulso definido$p=0$. Es solo que la distribución estadística de las mediciones de posición se distribuirá uniformemente, correspondiendo exactamente al cuadrado normal de la función de onda.