Longitud de onda, frecuencia y velocidad de De Broglie - interpretación

si el producto$\nu \lambda$tiene sentido como una velocidad. Definición$E = \hslash \omega$y$p=\hslash k$(la constante de Planck$h=2\pi \hslash$, donde el$2\pi$se inyecta en el$\hslash$, ya que los físicos generalmente prefieren discutir la frecuencia angular$\omega=2\pi\nu$y el vector de onda$k=2\pi p$en lugar de la frecuencia$\nu$y el impulso$p$para la conveniencia notacional de la transformada de Fourier), terminas con

$$\nu \lambda = \frac{\omega}{2\pi}\frac{2\pi}{k}=\frac{\omega}{k}$$ que es la definición estándar para la velocidad de fase . Corresponde a la velocidad de la componente de la onda a la frecuencia $\nu$propagándose a distancia $\lambda$por unidad de tiempo.

Esto siempre es cierto, pero para situaciones más complicadas, un sistema se representa mediante una superposición de diferentes ondas que se propagan a diferentes velocidades de fase. Da como resultado un paquete de ondas que se propaga, como un conjunto, a la velocidad del grupo

$$v_{g}=\frac{\partial \omega \left(k\right)}{\partial k}$$ donde se observa la relación de dispersión de la onda-paquete $\omega \left(k\right)$.

Solo la velocidad del grupo tiene algunas interpretaciones físicas claras. Por ejemplo, la velocidad de fase puede ser mayor que la velocidad de la luz, pero la velocidad de grupo nunca puede ser mayor que la velocidad de la luz.$v_{g}\leq c$, al menos en el vacío.

Para un fotón en el espacio libre, por ejemplo,$\omega \left(k\right)=c k$y por lo tanto su velocidad de grupo es$c$. Para una partícula libre no relativista de masa$m$,$\omega = \hslash k^2/2m$, y$v_{g}=\hslash k/m$. etc...

Para un cuerpo humano, tienes que contar todos los átomos que constituyen el cuerpo. La frecuencia individual de un átomo interfiere con las frecuencias de todos los demás, dando como resultado una relación de dispersión casi plana. La velocidad del grupo es entonces ridículamente pequeña. ¡Un cuerpo humano no se mueve debido al efecto cuántico! Puedes hacerte una idea básica de la velocidad de grupo de un cuerpo humano suponiendo que eres una partícula libre de masa$100 \textrm{kg}$y longitud de onda$1 \textrm{m}^{-1}$( es decir , el orden de magnitud de su tamaño es aproximadamente$1 \textrm{m}$) la$\hslash$mata$v_{g} \sim \left(10^{-36}-10^{-34}\right) \textrm{m.s}^{-1}$!

Más sobre eso:

• http://en.wikipedia.org/wiki/Phase_velocity
• http://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_relation

Sí, las fórmulas.$p=h/\lambda$y$E=h\nu$(las mismas ecuaciones que las suyas, un poco revertidas) son universales: se cumplen no solo para fotones sino para cualquier partícula.

Además, estas dos ecuaciones no son del todo independientes. Asumiendo la relatividad especial, ambos se derivan de la forma de De Broglie de la función de onda, que es fase pura:

$$\psi(x,t) = C\cdot \exp(2\pi i (x/\lambda - t\nu))$$ y del mismo modo, en cualquier dimensión del espacio-tiempo, $$\psi\sim \exp(ix^\mu p_\mu / \hbar)$$ donde $x^\mu$tiene componentes $(t,x,y,z)$con algunos poderes convencionales de $c$y $p_\mu/\hbar$tiene componentes $2\pi\nu=\omega$y $\vec k$donde $|\vec k|=2\pi/\lambda$y $\vec k$es el vector número de onda con la dirección de la onda. Tenga en cuenta que $\hbar = h/2\pi$es la constante de Planck naturalmente reducida.

Solo porque queremos que la fase sea invariante de Lorentz, necesitamos agregar los productos de los componentes espaciales al producto de los componentes temporales para que el exponente se combine con el buen producto interno de cuatro dimensiones. Así es como De Broglie tuvo la idea de la ola en primer lugar.

En la mecánica cuántica no relativista, a menudo usamos la noción no relativista de energía que es$E - m_0 c^2$: restamos la enorme energía latente. Este cambio general de energía por una constante no hace ninguna diferencia para la física y es equivalente a redefinir la fase de$\psi$por$\psi\to \psi \exp(imc^2 t / \hbar)$. En esta convención no relativista para la fase, perdemos la simetría manifiesta de Lorentz entre el impulso y la energía, pero la simetría sigue ahí y puede restaurarse si volvemos$mc^2$a$E$.