¿Algunas referencias para la tesis de Vladimir Arnold "Las matemáticas son parte de la física"?

Primero, sobre la pregunta en sentido estricto, me temo que la respuesta es negativa, aunque hay algunos otros lugares donde Arnold expresa sus puntos de vista sobre las matemáticas: An apologia for Applied Mathematics en su encuesta de 1996, un breve artículo The antiscientifical revolution y matemáticas , una entrevista con Liu para Mathematical Notices, una breve nota ¿Por qué estudiamos matemáticas para la revista rusa de física/matemáticas Kvant, etc.

De estos se puede suponer que estaba profundamente preocupado por la percepción social de las matemáticas, la trayectoria de la enseñanza matemática, se opuso a la "bourbakización", etc. Pero ninguno de ellos agrega mucho a la tesis de la nota vinculada al OP, excepto, quizás, a sugieren que es deliberadamente polémica y sociológicamente motivada. Por ejemplo, en la Apología escribe que “ la diferencia entre matemática pura y aplicada no es científica sino solo social ”, y:

" Como resultado, se produjo un divorcio de las matemáticas 'puras' de todas las ciencias, un sistema de educación matemática, criminal contra los enseñados, y la imagen de las matemáticas en la mente común fue la de una secta parasitaria peligrosa en el cuerpo de la ciencia. y la tecnología, formada por sacerdotes de una religión moribunda como los druidas " .

Tomando una visión más amplia, y al margen de las causas sociales de Arnold, la actitud es compartida, en parte. Por ejemplo, en ¿Hay matemáticos conocidos que compartieran la visión de Arnold sobre las matemáticas como ciencia natural? Newton y Kronecker se nombran expresando algo vagamente similar. Como veremos, Gauss se puede agregar a la lista. Quine opinó en Two Dogmas que la lógica y las matemáticas son del tipo de las ciencias naturales, más "atrincheradas" pero aún sujetas a revisión basada en la suma total de observaciones y experimentos. Pruebas y refutaciones de Lakatos asimila explícitamente las matemáticas al "método hipotético-deductivo" (el título es un juego de conjeturas y refutaciones de Popper). Magidin en ¿Son las matemáticas una ciencia?sugiere que las matemáticas " siguen el método científico ", etc.

Sin embargo, tomada literalmente, la tesis es difícil de defender. Tal vez, las matemáticas de los primeros días del cálculo puedan verse como una ciencia de especulación audaz y experimentos baratos, pero los trabajos típicos no presentan conjeturas confirmadas por cálculos y simulaciones, como cabría esperar si fueran ciertas. Como atestiguan las propias publicaciones de Arnold, él era muy consciente del papel singular de las pruebas rigurosas como confirmaciones matemáticas, que es diferente a lo que tenemos en las ciencias experimentales.

Un autor que particularmente me viene a la mente por defender una versión matizada de la tesis de Arnold, mucho antes que él, es CS Peirce, véase, por ejemplo, su Filosofía de las Matemáticas, sec.10 . Habla de las matemáticas (y la lógica) como puestas en escena de "experimentos ideales" en "diagramas" (modelos formales), a partir de los cuales se deducen inductivamente las reglas generales, y describe la función de las pruebas que las emplean como controles contra el error humano. En otras palabras, sirven como abreviaturas confiables para determinar la consecuencia semántica en modelos formales. Entonces, la diferencia con la física no es solo que los "experimentos ideales" son baratos, sino también que ejercemos un control total sobre la formación de sus sujetos:

Ahora bien, es evidente que no es una parte esencial de este método en general que las pruebas se hicieran mediante la observación de objetos naturales. Porque el inmenso progreso que han hecho las matemáticas modernas también se explica por el mismo interés intenso en probar proposiciones generales por casos particulares, solo las pruebas se aplicaron por medio de demostraciones particulares. Esto es observación, todavía, porque como ha declarado el gran matemático Gauss, el álgebra es una ciencia del ojo, solo es observación de objetos artificiales y de un carácter altamente recóndito. [CP 1.34 ]

Tales operaciones sobre diagramas, ya sean externos o imaginarios, toman el lugar de los experimentos sobre cosas reales que se realizan en la investigación química y física. Los químicos han descrito hasta ahora, no necesito decirlo, la experimentación como la formulación de preguntas a la Naturaleza. Del mismo modo, los experimentos sobre diagramas son preguntas que se hacen a la Naturaleza de las relaciones en cuestión... [CP 4.530]

No sólo es cierto que mediante la experimentación sobre algún diagrama se puede obtener una prueba experimental de cada conclusión necesaria de cualquier Cópula de premisas dada, sino que, además, ninguna conclusión "necesaria" es más apodíctica de lo que se vuelve el razonamiento inductivo desde el momento en que la experimentación se puede multiplicar ad libitum sin más costo que una convocatoria ante la imaginación... Es cierto que lo que debe ser no se aprende por simple inspección de nada. Pero cuando hablamos de que el razonamiento deductivo es necesario, no queremos decir, por supuesto, que sea infalible. Pero precisamente lo que queremos decir es que la conclusión se sigue de la forma de las relaciones establecidas en la premisa. [CP 4.531]

" Sería un gran error suponer que la experimentación ideal puede realizarse sin peligro de error; pero mediante el ejercicio del cuidado y la industria, este peligro puede reducirse indefinidamente. En la experimentación sensata, ningún cuidado puede siempre evitar el error... Así, el razonamiento necesario de las matemáticas se realiza mediante la observación y la experimentación, y su carácter necesario se debe simplemente a la circunstancia de que el objeto de esta observación y experimentación es un diagrama de nuestra propia creación, cuyas condiciones de ser conocemos todo. [CP 3.528, 560]