¿Cuáles son algunas buenas referencias que aclaran el descubrimiento/creación de la Serie de Fourier?

§1.1 (+ suplemento ) de Un enfoque radical del análisis real de Bressoud , recomendado aquí recientemente , hace más o menos exactamente lo que usted quiere.

Al contrario de lo que sugiere el nombre, las series de Fourier no fueron inventadas/descubiertas por Fourier. Fueron considerados por Euler y Bernoullis, en relación con la ecuación de onda unidimensional, no con la ecuación del calor. Esta historia temprana se describe, por ejemplo, en los artículos de Luzin en Amer. Matemáticas. Mensual:

Luzin, N. Función. I. Amer. Matemáticas. Mensual 105 (1998), núm. 1, 59–67.

Luzin, N. Función. II. Amer. Matemáticas. Mensual 105 (1998), núm. 3, 263–270.

(Hovewer, la integral de Fourier y las funciones theta son invenciones de Fourier). El libro de Fourier está traducido al inglés y sigue siendo una lectura muy interesante. En él, Fourier dio una teoría sistemática para resolver PDE por el método de separación de variables y, después de su publicación, las series de Fourier se convirtieron en una herramienta general en matemáticas y física. Así que los nombres de serie de Fourier y análisis de Fourier están bien justificados.

Observar en los comentarios. Fourier no estableció con una prueba rigurosa ningún criterio general de representación de funciones por series de Fourier. Su libro fue criticado por no ser riguroso, lo que retrasó sustancialmente su publicación. Sin embargo, presentó argumentos muy convincentes. También verificó algunos de sus resultados mediante un experimento real con el calentamiento de varios cuerpos.

Fourier fue un científico, no solo un matemático puro. Dijo que el objetivo principal de las matemáticas es un estudio profundo de la naturaleza. Una de las principales cuestiones motivadoras de su estudio del calor fue la determinación de la edad de la Tierra. Esto fue hecho más tarde por Thomson (Lord Kelvin) usando la teoría de Fourier.

El libro Introducción a la Teoría de las Series e Integrales de Fourier de HS Carslaw responde a sus preguntas en el primer capítulo sobre la Historia de este tema. Muchas creencias falsas comunes se desacreditan en su primer capítulo, incluida la idea de que Fourier no pudo dar una prueba rigurosa de convergencia. Otra falsa creencia común es que Fourier descubrió los coeficientes de Fourier. Las condiciones de "ortogonalidad" fueron descubiertas por Clairaut y Euler. Esta es una parte fascinante de la historia que a menudo se cita incorrectamente.

Conozco un libro que está completamente dedicado a la historia y el desarrollo de las series trigonométricas (incluidas, por supuesto, las series de Fourier). Pero no está en inglés, está en ruso. Da un tratamiento bastante detallado sobre el método de varios matemáticos que participan en este campo. El título es "AB Paplaukas Serie trigonométrica de Euler a Lebesgue" (Паплаускас А.Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега). Tiene una versión electrónica gratuita, así que si sabes leer ruso, puedes descargarla.

Me gustan los libros de matemáticas rusas. Son bastante rigurosos y se mantienen alejados del formalismo pesado. El libro que recomiendo no dediques tiempo a charlar sobre historias irrelevantes. Tiene un estilo muy directo.

El OP escribió:

¿Existen buenas fuentes (referencias, libros, videos (preferiblemente), etc.) que proporcionen un tutorial para ayudar a "descubrir/crear" los hallazgos de Fourier por sí mismo?

Creo que los capítulos 8 y 9 de 17 Ecuaciones que cambiaron el mundo de Ian Stewart brindan ese recorrido.

Para mí, el momento "a-ha" con las transformadas de Fourier fue cuando lo relacioné con la resolución de un vector en componentes. Si tiene un vector en alguna dirección arbitraria y por conveniencia de cálculo o representación desea expresarlo como la suma de múltiplos escalares de otro par de vectores (llamémoslos el "par base"), use el producto escalar de ese vector con cada uno de los vectores base (dividido por la magnitud del vector base) para encontrar algo que podría llamarse "la sombra de ese vector proyectada a lo largo de la línea del vector base".

En un caso simple, el par de bases podría ser el vector unitario horizontal y el vector unitario vertical, que es con lo que está más familiarizado, pero se pueden usar dos vectores cualesquiera que no se encuentren a lo largo de la misma línea, simplemente tiene que proyectar el vector que está mirando a lo largo de la línea de cada vector y ver qué a y b necesita usar como múltiplo para obtener a multiplicado por {un vector} más b multiplicado por {el otro vector} para sumar a su vector original. Las transformadas de Fourier usan una idea similar: "Tengo esta forma de onda complicada, déjame ver si puedo dividirla en una suma de múltiplos de formas de onda más simples".

Piense en la transformada de Fourier en una onda de sonido como ejemplo. Básicamente, lo que está haciendo es proyectar la onda de sonido en una señal pura de 440 Hz y decir "se trata de este A medio" y luego proyectar la onda en una señal de 466 Hz dice "y ahora sobre este B plano". Continuando de esta manera tendrías los tonos de un piano como tus "vectores base" y podrías reproducir el sonido (aproximadamente) tocando cada tecla más fuerte o más suave de acuerdo a lo que te dio el cálculo en cada frecuencia.

Para mí, esto toma parte del "bueno, ¿cómo se le ocurriría a alguien esto?" misterio fuera de él. La idea de representar algo como a multiplicado por este vector base más b multiplicado por ese vector base simplemente se está generalizando a "Puedo representar esta onda de sonido como a por esta onda sinusoidal pura más b por esta onda sinusoidal pura, más c por esta onda sinusoidal pura ola" y así sucesivamente.

No sé si esto es históricamente de donde vino la realización, pero creo que responde a su pregunta en el sentido de "¿cómo se me ocurriría esta idea yo mismo?". Lo obtienes pensando en una curva como la suma de los componentes de un espacio vectorial de dimensión infinita. No dejes que las "dimensiones infinitas" te molesten; en la práctica, lo acercas tanto como lo necesitas, como con la música digital, tomas el sonido natural y lo muestras en suficientes frecuencias diferentes (vectores base). ) que suena bien cuando lo reproduces como x por esta frecuencia más y por esa frecuencia más z por esa frecuencia, etc.

(Así es como se podría usar una transformada de Fourier en una onda de entrada para digitalizar música: se pasa de una onda natural a "reproducir la frecuencia x [un número, almacenado digitalmente] en el volumen y [un número, almacenado digitalmente] y, simultáneamente , frecuencia z [un número, almacenado digitalmente] en el volumen v [un número, almacenado digitalmente]". Simplemente está "resolviendo" la música en multiplicadores numéricos de volumen de frecuencias numéricas).

No obtiene un ajuste exacto para cada curva posible, pero al usar más y más "vectores base" se acerca cada vez más a la curva exacta.

La idea de las "teclas de piano como vectores básicos" no es nueva para mí: uno de mis profesores de física nos mostró cómo se puede gritar en un piano abierto y la vibración simpática de las cuerdas haría una transformada aproximada de Fourier de su voz. Vea también este experimento en ese sentido en un video de YouTube (narración en alemán pero el piano "habla" en inglés): https://www.youtube.com/watch?v=muCPjK4nGY4

Otros conceptos en matemáticas tienen una base similar (perdón por el juego de palabras). La expansión de la serie de Taylor y los polinomios de Bernoulli son cosas similares en las que te acercas a alguna función o curva al aproximarla con un montón de multiplicadores escalares a algo que se aproxima a un espacio vectorial de dimensión infinita. El proceso de averiguar cuáles son los multiplicadores escalares para una curva dada generalmente se parece a la transformada de Fourier.