¿Qué quiso decir Fourier al afirmar que toda función se puede descomponer en funciones seno y coseno?

Fourier afirmó que toda función se puede descomponer en funciones seno y coseno. ¿Se refería solo a funciones periódicas? ¿Solo a cierta clase? Pregunto, porque parece claro (al menos para mí) que la mayoría de las funciones no se pueden descomponer así. Un ejemplo simple es el polinomio de grado n. Se puede aproximar una pequeña parte, pero la función completa no encuentra lugar en el espacio funcional generado por los senos y los cosenos.

Fourier permitía sumas infinitas de senos y cosenos.
@DaveLRenfro Pero no puedes expandir f = x en una cantidad infinita de ellos.
@DaveLRenfro Pero esa no es toda la función. Sólo una pequeña parte.
Las expansiones son para un intervalo dado de antemano. De hecho, los coeficientes de Fourier están en términos de integrales definidas cuyos límites de integración son los extremos del intervalo. Además, muchas funciones no se pueden expandir (exactamente, en cada punto) a lo largo de un intervalo dado por varias razones, una de las cuales es que dicha expansión es el límite de las funciones continuas y, como tal, es continua en muchos puntos (ver esta respuesta y este documento de exposición ). (continuado)
El trabajo de Fourier fue anterior a la realización/aceptación de nuestra concepción actual de una función arbitraria y, por lo tanto, las declaraciones generales como "todas las funciones" deben leerse en un contexto histórico. En lugar de extraer declaraciones aisladas de Fourier (posiblemente ni siquiera citadas exactamente) e intentar interpretarlas a partir de nuestro pensamiento actual, tal vez mire lo que realmente escribió (al menos una versión traducida): The Analytical Theory of Heat, traducido con notas de Alexander Freeman, Cambridge University Press, 1878, xxiii + 466 páginas.
@DaveLRenfro ¿No conocía la función f(x)=x? ¿En qué se diferencia esa función en un contexto histórico?
Tal vez mire lo que está involucrado en una expansión de Fourier. Los cálculos básicos y las ideas no requieren nada más que el cálculo del segundo semestre de EE. UU . Por ejemplo, las funciones con las que uno trata se definen en un intervalo específico, a menudo tomado como [ − π , π ] , y la serie de Fourier resultante es esencialmente (hay algunos tecnicismos involucrados) la extensión periódica de esta función a la línea real. Tengo que irme ahora. Tal vez mire EXACTAMENTE lo que dijo/escribió Fourier, en lugar de confiar en "citas" de segunda mano.
@DaveLRenfro Está cometiendo el error común de que puede agregar todas las funciones definidas por intervalo.
La función de calor de Fourier se define sobre todo el espacio. No en un intervalo. Entonces, ¿Foutier entendía por todas las funciones todas las que están definidas en un intervalo? En ese caso siempre tiene razón obviamente.
Creo que en este punto necesita dar una referencia exacta y específica a la declaración de Fourier que le preocupa, lo cual debería ser posible porque prácticamente todo lo publicado en latín o en una lengua romance durante el siglo XIX está disponible gratuitamente en Internet.
@DaveLRenfro Bueno, no tengo una fuente oficial. Lo vi mencionado en esta pregunta: hsm.stackexchange.com/questions/13396/…
@DaveLRenfro Del mismo modo, cada función se puede aproximar por potencias. Pero solo en la vecindad de un punto que elijas. Así que no toda la función a la vez. Puedes decir, por supuesto, f(x)=c+ax+bx^2+dx^3...etc. pero el RHS solo puede evaluarse wrt f.
Con respecto a la noción de "función completa", tenga en cuenta que la noción precisa que tenemos hoy difiere de la época de Fourier en que ahora insistimos en que un dominio y un codominio específicos sean parte de lo que es una función. Además, si quieres analizar el calor de un objeto, el comportamiento a años luz no es particularmente relevante. Y si lo fuera, entonces dividiría el análisis en regiones separadas para el análisis, incluso cuando estudie la estructura del universo como un todo (por ejemplo, múltiples ). Véase también esta respuesta .
@DaveLRenfro En la página 187 de su referencia se menciona que la expansión en senos y cosenos es válida solo por un cierto intervalo limitado. Así que no toda la función. Por supuesto que se puede hacer para cada intervalo. Entonces, la función completa se puede aproximar a una suma infinita en cada x. Pero la función no puede ser reemplazada como un todo por senos y cosenos. Más bien, para cada x se puede hacer una aproximación usando senos y cosenos cuyos coeficientes se basan en una integración de la función completa y los cosenos y senos. Eso por sí mismo no es una función nueva a menos que limites las x.
@DaveLRenfro Entonces, toda la función no puede ser reemplazada por una función en la que la función en sí no esté contenida. Sólo en pequeños intervalos esto se puede hacer. Obviamente se puede hacer para funciones periódicas.

Respuestas (1)

En primer lugar, hay que notar que el trabajo de Fourier es anterior a todas las nociones modernas de función. La noción de función fue aclarada por primera vez por Dirichlet, en su intento de justificar los argumentos de Fourier. Lo que Fourier probablemente quiso decir fue que

a) cualquier función periódica razonable, digamos con período 2 π se puede expandir en una serie de la forma ∑ a k porque ⁡ k X + b k pecado ⁡ k X . Y

b) que muchas funciones no periódicas en la recta real pueden representarse mediante integrales de Fourier

∫ porque ⁡ ( s X ) ϕ ( s ) d s , ∫ pecado ⁡ ( s X ) ψ ( s ) d s .

Fourier estaba resolviendo problemas específicos de física matemática. Incluso sus contemporáneos entendieron que muchos de sus argumentos no son matemáticamente rigurosos (y tuvo dificultades con la publicación de su libro por esta razón; fue muy criticado).

No especificó la clase exacta de funciones para las que estos enunciados son verdaderos, y los matemáticos tardaron muchas décadas en llegar a enunciados exactos. La noción misma de función evolucionó en este proceso, comenzando con la definición de Dirichlet y procediendo a " L 2 -funciones" (que no son exactamente funciones en el sentido de Dirichlet), y luego a distribuciones e hiperfunciones. Todas estas nociones fueron inventadas con el propósito de dar sentido preciso a las ideas de Fourier.

Para tomar su ejemplo específico de polinomios, solo en la década de 1950 quedó claro cómo representar polinomios como integrales de Fourier; esto requiere la teoría de las "distribuciones templadas".

"Distribuciones templadas" Casi poesía. :)
¿Qué quiso decir Fourier al afirmar que toda función se puede descomponer en funciones seno y coseno?
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