Considere un sistema de Partículas indistinguibles moviéndose en espacio euclidiano bidimensional . El espacio de configuración es dónde es la diagonal (subespacio donde al menos 2 partículas tienen posiciones coincidentes) y es el grupo que permuta las partículas
La cuantificación de este sistema produce sectores de superselección correspondientes a representaciones unitarias irreducibles de : por , por . La representación trivial produce estadísticas bosónicas, las representaciones de signos producen estadísticas fermiónicas. Para no hay otras representaciones unidimensionales. Para hay otras representaciones unidimensionales en las que cambiar dos partículas genera una fase arbitraria. Estos producen estadísticas anónicas.
¿Qué pasa con las representaciones irreducibles de dimensiones superiores? Estos corresponden a la paraestadística . Se dice que por podemos ignorarlos con seguridad porque en cierto sentido son equivalentes a los bosones/fermiones ordinarios. Sin embargo para Este no es el caso. ¿Por qué?
¿Por qué la paraestadística es redundante para pero no para ?
Permítanme citar Phys. Rev. B 83, 115132 (2011)
Las representaciones unidimensionales de corresponden a bosones y fermiones. Uno podría haber esperado que las representaciones de dimensiones superiores de daría lugar a interesantes análogos 3D de anyons no abelianos. Sin embargo, este no es el caso, como se muestra en la Ref. 18,19: cualquier representación dimensional superior de que es compatible con la localidad se puede descomponer en el producto tensorial de los espacios locales de Hilbert asociados con cada partícula. Por ejemplo, supongamos que tuviéramos spin-1/2 partículas pero ignoró sus valores de giro. Entonces tendríamos estados que se transformarían entre sí bajo permutaciones. Claramente, si descubriéramos tal sistema, simplemente concluiríamos que nos falta algún número cuántico y comenzaríamos a tratar de medirlo. Esto simplemente nos llevaría de vuelta a los bosones y fermiones con números cuánticos adicionales. (El número cuántico de color de los quarks se conjeturó esencialmente mediante este tipo de razonamiento).
Los documentos a los que se refieren son Ref. 18 y ref. 19 (siga los enlaces).
Las cuantizaciones no equivalentes no se corresponden con las representaciones unitarias del grupo fundamental , sino al conjunto de sus representaciones de carácter , véase, por ejemplo, la contribución de Doebner y Tolar a Symmetries in science XI . En nuestro caso, este grupo es cuyos dos puntos están dados por los caracteres triviales y alternos correspondientes a bosones y fermiones respectivamente. En el lenguaje de la cuantificación geométrica, cada carácter conduce a una conexión diferente en el paquete de líneas de precuantificación que aparece en la fórmula de precuantificación, lo que da una correspondencia entre las funciones en el espacio de fase y los operadores en el espacio de Hilbert de precuantificación. Por lo tanto, otras estadísticas no son posibles porque esta correspondencia no se puede construir.
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