La ecuación de onda en relatividad general, relatividad especial y coordenadas cartesianas

Question

La ecuación de onda en relatividad general, relatividad especial y coordenadas cartesianas

ondas
Física
covarianza
sistemas coordinados
relatividad general
relatividad especial

usuario76284

La ecuación de onda relativista es

◻ φ = ρ

$\square\varphi=\rho$ dónde

φ

$\varphi$ es el campo,

ρ

$\rho$ es la fuente y

◻

$\square$ es el operador de D'Alembert, definido por

◻ = \nabla_{m} \nabla^{m} = {gramo}^{m v} \nabla_{m} \nabla_{v}

$\square=\nabla_\mu\nabla^\mu=g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu$ dónde

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ es el tensor métrico inverso y

\nabla

$\nabla$ es el operador derivado covariante. En el espacio-tiempo de Minkowski, esto se puede reducir a

◻ = \partial_{m} \partial^{m} = η^{m v} \partial_{m} \partial_{v}

$\square=\partial_\mu\partial^\mu=\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu$ dónde

\partial

$\partial$ es el operador de derivada parcial. Uso de coordenadas cartesianas

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ , esto se puede reducir aún más a

◻ = \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

$\square=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}-\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ ¿Es correcta esta caracterización de la ecuación de onda? En particular, ¿cuál es la distinción correcta entre usar

\partial

$\partial$ y usando

\nabla

$\nabla$ , y la distinción correcta entre espacio-tiempo curvo y coordenadas curvilíneas , al manipular estas expresiones?

jamals

Solo una pequeña advertencia para agregar a las respuestas existentes: tenga en cuenta que algunos autores pueden escribir

◻

$\square$ en relatividad general, cuando en realidad se refieren al operador de Lichnerowicz, que sí depende de la curvatura, no solo de los coeficientes de conexión. Por lo general, debería poder notar la diferencia según el contexto.

Respuestas (2)

La ecuación de onda en relatividad general, relatividad especial y coordenadas cartesianas

Solo una pequeña advertencia para agregar a las respuestas existentes: tenga en cuenta que algunos autores pueden escribir $\square$ en relatividad general, cuando en realidad se refieren al operador de Lichnerowicz, que sí depende de la curvatura, no solo de los coeficientes de conexión. Por lo general, debería poder notar la diferencia según el contexto.

usuario10851 · Answer 1

No hay ninguna diferencia aquí entre usar el espacio-tiempo curvo y las coordenadas curvilíneas. Si bien uno podría decir la curvatura "verdadera" en el espacio-tiempo, digamos, calculando escalares como $R^{\alpha\beta\gamma\delta} R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ o $R^\mu{}_\mu$ y viendo si desaparecen, el hecho es que a su operador diferencial no le importa. Dicho de otra manera, todo lo que te importa es si los coeficientes de conexión $\Gamma^\sigma_{\mu\nu}$ desaparecen, no si lo hace alguna cantidad especial independiente de las coordenadas.

Debido a esto, el espacio-tiempo de Minkowski a menudo, pero no siempre, involucra implícitamente coordenadas cartesianas; de lo contrario, probablemente se podría llamar simplemente "plano". Si su espacio-tiempo es plano pero sus coordenadas no son cartesianas, habrá términos que omitió en su tercera ecuación. En cualquier espacio-tiempo y para cualquier escalar ¹ $\varphi$ ,

\begin{aligned} ◻ φ & = {gramo}^{m v} \nabla_{m} \nabla_{v} φ \\ = {gramo}^{m v} \nabla_{m} (\partial_{v} φ) \\ = {gramo}^{m v} (\partial_{m} \partial_{v} φ - Γ_{m v}^{σ} \partial_{σ} φ) \\ (1) & = (\partial_{m} \partial^{m} - {gramo}^{m v} Γ_{m v}^{σ} \partial_{σ}) φ . \end{aligned}

$\begin{align} \square\varphi & = g^{\mu\nu} \nabla_\mu \nabla_\nu \varphi \\ & = g^{\mu\nu} \nabla_\mu (\partial_\nu \varphi) \\ & = g^{\mu\nu} (\partial_\mu \partial_\nu \varphi - \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \partial_\sigma \varphi) \\ & = (\partial_\mu \partial^\mu - g^{\mu\nu} \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \partial_\sigma) \varphi. \tag{1} \end{align}$

Entonces si en coordenadas $(t,x,y,z)$ tenemos $g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ , entonces seguro, $\Gamma^\sigma_{\mu\nu} = 0$ y $\square\varphi = \partial_\mu \partial^\mu \varphi$ . El mismo espaciotiempo plano en coordenadas esféricas $(t,r,\theta,\phi)$ -- $g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,1,r^2,r^2\sin^2\theta)$ -- tendrá sin embargo algunos coeficientes de conexión distintos de cero. De hecho, debe reconocer que el segundo término en (1) es necesario, dado que hay derivadas simples en el Laplaciano esférico:

\nabla^{2} φ = (\partial_{r}^{2} + \frac{2}{r} \partial_{r} + \frac{1}{r^{2}} \partial_{θ}^{2} + \frac{1}{r^{2} broncearse θ} \partial_{θ} + \frac{1}{r^{2} {pecado}^{2} θ} \partial_{ϕ}^{2}) φ .

$\nabla^2\varphi = \left(\partial_r^2 + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_\theta^2 + \frac{1}{r^2\tan\theta} \partial_\theta + \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \partial_\phi^2\right) \varphi.$

Lo que hay que recordar es que las derivadas covariantes se reducen a derivadas parciales generalmente solo en las siguientes dos circunstancias:

$\nabla_\mu \varphi = \partial_\mu \varphi$ en cualquier espacio-tiempo en cualquier coordenada para un escalar $\varphi$ .
$\nabla_\mu T^\alpha{}_\beta = \partial_\mu T^\alpha{}_\beta$ en el espacio-tiempo plano en coordenadas cartesianas, donde $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$ , para cualquier tensor $T$ (con tantos índices como quieras).

Aparte de esas dos veces, tienes que recurrir a la regla general.

\nabla_{m} T^{α}_{β} = \partial_{m} T^{α}_{β} + Γ_{m σ}^{α} T^{σ}_{β} - Γ_{m β}^{ρ} T^{α}_{ρ},

$\nabla_\mu T^\alpha{}_\beta = \partial_\mu T^\alpha{}_\beta + \Gamma^\alpha_{\mu\sigma} T^\sigma{}_\beta - \Gamma^\rho_{\mu\beta} T^\alpha{}_\rho,$ donde los índices adicionales siguen el mismo patrón que

α

$\alpha$ o

β

$\beta$ dependiendo de si están arriba o abajo.

¹ Tenga en cuenta que si $\varphi$ es un tensor de rango superior, la simplificación $\nabla\varphi \to \partial\varphi$ ya no aguanta. Además, en el contexto de las ecuaciones de onda, a menudo el operador diferencial que desea no es el d'Alambertiano sino el operador de Rham , que agrega un acoplamiento entre el tensor de Ricci y su tensor que se diferencia (un "acoplamiento de curvatura"). Esto se reduce al d'Alambertiano en escalares.

jerry schirmer · Answer 2

Solo puede promocionar a parciales en Minkowski para el caso especial de coordenadas cartesianas. En lo que respecta a estas ecuaciones simples, no existe una distinción directa entre las coordenadas curvilíneas y el espacio-tiempo curvo. Todo lo que importa es que el $\Gamma_{ab}{}^{c}$ son distintos de cero.

Tenga en cuenta, sin embargo, que hay otras generalizaciones del operador D'Alembertiano para el espacio-tiempo curvo que involucran el escalar de Ricci. Estos indican explícitamente una diferencia entre el espacio-tiempo curvo y las coordenadas curvilíneas.

Entonces, el operador diferencial parcial se puede usar correctamente en lugar del operador diferencial covariante solo en el espacio de Minkowski bajo coordenadas cartesianas, ¿correcto? Además, ¿cuáles son algunos ejemplos de estas generalizaciones del operador D'Alembertiano?
@ usuario1667423 echa un vistazo a en.wikipedia.org/wiki/…

La ecuación de onda en relatividad general, relatividad especial y coordenadas cartesianas

usuario76284

jamals

Respuestas (2)

usuario10851

jerry schirmer

usuario76284

danu

Es (−∂2∂t2+∇2)ϕ=0(−∂2∂t2+∇2)ϕ=0\left(-\frac{\parcial^2}{\parcial t^2}+\nabla^2\ right)\phi=0 igual que ∂μ(gμν−g−−−√∂νϕ)=0∂μ(gμν−g∂νϕ)=0\partial_\mu\left( g^{\mu\nu}\ sqrt{-g} \parcial_\nu\phi\right)=0?

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