Traté de verificar la declaración de que Dirac viaja al trabajo hamiltoniano con el operador de inversión. Para

$$\hat {P}\Psi(\mathbf r , t) = i\hat {\gamma}_{0}\Psi (-\mathbf r , t), \quad \hat {H} = (\hat {\alpha} \cdot \hat {\mathbf p}) + \hat {\gamma}_{0}m$$ Obtuve

$$[\hat {H}, \hat {P}]\Psi (\mathbf r, t) = i\hat {H}\hat {\gamma}_{0} \Psi (-\mathbf r , t ) - \hat {P} \hat {H}\Psi (\mathbf r, t) =$$

$$i ((\hat {\alpha} \cdot \hat {\mathbf p }) + \hat {\gamma}_{0} m)\hat {\gamma}_{0}\Psi (-\mathbf r , t) - i (-(\hat {\alpha} \cdot \hat {\mathbf p }) + \hat {\gamma}_{0} m)\hat {\gamma}_{0}\Psi (-\mathbf r , t) =$$ $$=2i(\hat {\alpha} \cdot \hat {\mathbf p} )\hat {\gamma}_{0}\Psi (-\mathbf r , t).$$ ¿Dónde está el error?

Tal vez, mi error está en lo siguiente:

$$\hat {P} \hat {H}(\mathbf p) \Psi (\mathbf r , t) \neq i\hat {H} (-\mathbf p )\hat {\gamma}_{0}\Psi (-\mathbf r , t),$$ el correcto es $$\hat {P} \hat {H}(\mathbf p) \Psi (\mathbf r , t) = i\hat {\gamma}_{0}\hat {H} (-\mathbf p )\Psi (-\mathbf r , t).$$ Pero no entiendo, por qué. Por ejemplo, cuando actúo por $\hat {P}$sobre la expresión de la energía $$\hat {P} E = \hat {P} \int \Psi^{+}((\hat {p} \cdot \hat {\alpha}) + \hat {\gamma}_{0} m)\Psi d^{3}\mathbf r = \int \hat {P}(\Psi^{+}) (-(\hat {p} \cdot \hat {\alpha}) + \hat {\gamma}_{0} m)\hat {P} (\Psi )d^{3}\mathbf r,$$ el $\hat {P}$solo cambia el inicio de sesión $\hat {\mathbf p}$sumando de hamiltoniano, mientras que el $\hat {\gamma}_{0}$no actúa en consecuencia.