Equivalencia de dos formulaciones de ecuaciones de Maxwell en variedades

Las ecuaciones de Maxwell en notación de forma diferencial dicen

$$dF = 0~, \qquad d\ast F = \ast J~.$$ Ahora mostramos que estas ecuaciones son equivalentes a $\nabla_{[a} F_{bc]} = 0$, $\nabla_a F^{ab} = J^b$.

Primero, por definición

$$\begin{align} \nabla_{[a} F_{bc]} = \partial_{[a} F_{bc]} + \Gamma^d_{[ab}F_{c]d} - \Gamma^d_{[ac} F_{b]d} \end{align}$$ Si la conexión no tiene torsión (no necesariamente la conexión Levi-Civita), entonces $\Gamma^a_{[bc]} = 0$de modo que $$\begin{align} \nabla_{[a} F_{bc]} = \partial_{[a} F_{bc]} = \frac{1}{3} (dF)_{abc} \end{align}$$ La última igualdad es verdadera por definición. De este modo, $\nabla_{[a} F_{bc]} \implies dF = 0$.

A continuación, considere la segunda ecuación

$$\begin{align} \nabla_a F^{ab} = \partial_a F^{ab} + \Gamma^a_{ac} F^{cb} + \Gamma^b_{ac} F^{ac} \end{align}$$ Nuevamente, si la conexión no tiene torsión, entonces el último término es cero. Para simplificar el segundo término, debemos suponer que $\Gamma$es la conexión Levi-Civita de modo que $$\Gamma^a_{ac} = \frac{1}{2} g^{ab} ( \partial_a g_{cb} + \partial_c g_{ab} - \partial_b g_{ac} ) = \frac{1}{2} g^{ab} \partial_c g_{ab} = \frac{1}{2} \partial_c \log \det g = \frac{1}{\sqrt{\det g}}\partial_c \sqrt{\det g}$$ Entonces tenemos $$\begin{align} \nabla_a F^{ab} = \partial_a F^{ab} + \frac{1}{\sqrt{\det g}}\partial_c \sqrt{\det g} F^{cb} = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_a \left( \sqrt{\det g} F^{ab} \right)~. \end{align}$$ Entonces podemos escribir la ecuación de Maxwell como $$\partial_e \left( \sqrt{\det g} F^{ed} \right) = \sqrt{\det g} J^d$$ Ahora, contrae ambos lados con el símbolo de Levi-Civita (no tensor), ${\tilde \varepsilon}_{abcd}$Llegar $$\partial_e \left( \sqrt{\det g} {\tilde \varepsilon}_{abcd} F^{ed} \right) = \sqrt{\det g}{\tilde \varepsilon}_{abcd} J^d$$ Ahora, recuerda que el tensor de Levi-Civita es ${\varepsilon}_{abcd} = \sqrt{\det g} {\tilde \varepsilon}_{abcd}$ $$\partial_e \left( {\varepsilon}_{abcd} F^{ed} \right) = {\varepsilon}_{abcd} J^d = (\ast J)_{abc} \tag{1}$$ La última igualdad es verdadera por definición. Finalmente, deseamos escribir el LHS en términos de $\ast F$. Para ello escribimos $$F^{ed} = -\frac{1}{2} \varepsilon^{edmn} (\ast F)_{mn}$$ Después, $$(\ast J)_{abc} = \frac{1}{2} \partial_e \left( {\varepsilon}_{abcd}\varepsilon^{demn} (\ast F)_{mn} \right)$$ Entonces, usamos la propiedad $${\varepsilon}_{abcd}\varepsilon^{demn} = 6 \delta^e_{[a} \delta^m_b \delta^n_{c]}$$ Finalmente, $$(\ast J)_{abc} = 3 \delta^e_{[a} \delta^m_b \delta^n_{c]} \partial_e (\ast F)_{mn} = 3 \partial_{[a} (\ast F)_{bc]} = ( d \ast F )_{abc}$$ donde nuevamente, la última igualdad es la definición de $d$. Así, vemos que $\nabla_a F^{ab} = J^b \implies d \ast F = \ast J$.

QED.

PD - Para responder a tu última pregunta. La notación de forma diferencial es consciente de la conexión a través del dual de Hodge en el que$\sqrt{\det g}$entra Nótese también que en la divergencia de cualquier$p$-form, solo aparece el siguiente componente de la conexión -$\Gamma^a_{ab}$que depende enteramente de$\sqrt{\det g}$. Otros componentes nunca aparecen, es decir, en general completa

$$\nabla_a T^{[abc\cdots]} = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_a \left( \sqrt{\det g} T^{[abc\cdots]} \right)~.$$

Las dos formulaciones (1) y (2) son equivalentes, principalmente porque:

1. la covariante y la derivada parcial de un antisimétrico$(0,2)$tensor$F_{\mu\nu}$es equivalente a una conexión sin torsión.

2. la conexión Levi-Civita conserva la métrica$\nabla_{\lambda} g_{\mu\nu}=0$.

3. ecuación de OP (2a) lee en coordenadas locales

   $$\pm J^{\nu}~=~\nabla_{\mu} F^{\mu\nu}~\equiv~\partial_{\mu} +\Gamma_{\mu\lambda}^{\mu}F^{\lambda\nu} +\Gamma_{\mu\lambda}^{\nu}F^{\mu\lambda}~=~\frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_{\mu}(\sqrt{|g|} F^{\mu\nu})~=~(\delta F)^{\nu} \tag{2a}$$ en la firma de Minkowski$(\pm, \mp,\mp,\mp)$. Aquí$\delta$es el codiferencial de Hodge , hasta convenciones de signos.

Si$\nabla$es una conexión libre de torsión (no necesariamente Levi-Civita), entonces para un arbitrario$k$-forma$\omega_{a_1...a_k}$tenemos$(d\omega)_{a_1...a_{k+1}}=(k+1)\partial_{[a_1}\omega_{a_2...a_{k+1}]}=(k+1)\nabla_{[a_1}\omega_{a_2...a_{k+1}]}$. Si expande en términos de coeficientes de conexión, los coeficientes de conexión simétricos serán eliminados por la antisimetrización.

Asi que$\nabla_{[a} F_{bc]}=0\Leftrightarrow dF=0$.

Para la primera relación$\nabla_a F^{ab}=J^b$, busque el codiferencial . se define como$\delta\omega=(-1)^k\star^{-1}d\star\omega$, por lo que es básicamente$\delta=\pm\star d\star$con el signo habitual clusterf*ck con el que uno tiene que lidiar cuando usa la estrella de Hodge. El codiferencial es en cierto sentido el operador "adjunto" de$d$, y disminuye el grado de una forma diferencial en uno, y también sabe$\delta\delta=0$(y creo que su propia versión del lema de Poincaré también).

Se puede demostrar (ver por ejemplo la Relatividad General de Norbert Straumann), que el codiferencial actúa sobre una forma diferencial al tomar su divergencia a través de la conexión Levi-Civita (recuerde que la estrella de Hodge y por lo tanto el codiferencial requiere una métrica, por lo que también "ve" la conexión Levi-Civita), por lo que$(\delta\omega)^{a_1...a_{k-1}}=\pm\nabla_a\omega^{aa_1...a_{k-1}}$(una vez más signos molestos).

Ahora, la ecuación de Maxwell en cuestión está dada por$d\star F=\mathcal{J}$, pero entonces$\mathcal{J}$es una forma de 3 aquí. Así que en su lugar tengamos$\mathcal{J}=\star J$, después

$$d\star F=\star J, \\ \star^{-1} d\star F=J=\delta F.$$ Pero por la discusión anterior $(\delta F)^b=\pm\nabla_aF^{ab}$, por lo que se da su fórmula.

El cálculo es el siguiente 1) dF =0:
$F_{[\mu,\nu;\lambda]}=\frac{1}{3}(F_{\mu\nu;\lambda}+F_{\nu\lambda;\mu}+ F_{\lambda\mu;\nu})= \frac{1}{3}(F_{\mu\nu,\lambda}-\Gamma^\tau_{\mu\lambda}F_{\tau\nu}- \Gamma^\tau_{\nu\lambda}F_{\mu\tau} + F_{\nu\lambda,\mu}-\Gamma^{\tau}_{\nu\mu}F_{\tau\lambda}-\Gamma^{\tau}_{\lambda\mu}F_{\nu\tau} + F_{\lambda\mu,\nu} - \Gamma^{\tau}_{\lambda\nu}F_{\tau\mu} - \Gamma^{\tau}_{\mu\nu}F_{\lambda\tau})=\frac{1}{3}(F_{\mu\nu,\lambda}+F_{\nu\lambda,\mu}+ F_{\lambda\mu,\nu})$haciendo uso de la antisimetría de los 2 índices del tensor de campo electromagnético y la simetría de los 2 índices inferiores de los símbolos de Christoffel (se supone que la torsión es cero), los términos con los símbolos de Christoffel se cancelan.

2) d*F=J Probablemente similar, sin embargo, en este momento no puedo resolverlo.