Ecuaciones covariantes de Maxwell invariantes bajo transformación de paridad

No estás aplicando las transformaciones correctamente. tu transformación,$P$, es un mapa lineal que cambia un vector en otro vector. Bien,$F^{\mu\nu}$es un tensor de rango (2,0), no un vector (tensor de rango (1,0)). Todo esto se vuelve mucho más claro si usa la notación de índice, en lugar de escribir matrices. Trabajaré en base cartesiana.

Entonces, denotemos su$P$con un tensor de rango (1,1),$P^\mu_\nu$, tal que para un vector$V^\mu=\left(V^0, V^1, V^2, V^3\right)^\mu$, el efecto de$P$sería:

$V^\mu\to\bar{V}^\mu = P^\mu_\nu V^\nu = (V^0, -V^1, -V^2, -V^3)$

Ahora la transformación para el tensor electromagnético sería entonces:

$F^{\mu\nu}\to\bar{F}^{\mu\nu}=P^\mu_\eta P^\nu_\sigma F^{\eta\sigma}$

En este caso, debido a que su transformación es simple, puede reescribir esto como una ecuación matricial (en general, puede que no funcione tan bien):

$\bar{F}=P\cdot F \cdot P = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \\ \end{matrix}\right)$

Entonces, el campo eléctrico se transforma como un vector polar, mientras que el magnético como axial. Como es bien sabido. También necesitarás aplicar transform$J^\mu\to\bar{J}^\mu=P^\mu_\nu J^{\nu}$, y$\partial_\mu \to \bar{\partial}_\mu = \left(P^{-1}\right)^\nu_\mu \partial_\nu$(es decir, debe aplicar transformadas inversas a los tensores covariantes). Cuando hagas eso, verás que la ecuación para las nuevas cantidades será la misma que para las antiguas, es decir$\bar{\partial}_\mu \bar{F}^{\mu\nu}={4\pi}{c}\bar{J}^{\nu}$, por lo que la ecuación no cambia (los vectores y los tensores sí)

Extra siguiendo el comentario.

Realmente desaconsejo la notación matricial en estos cálculos, así que dejaré de usarla. Así es como te ejercitas$\bar{F}^{\mu\nu}$:

$F^{0\{1,2,3\}}=\{-E_x, -E_y, -E_z\}$

$F^{12}=-B_z,\, F^{13}=B_y,\, F^{23}=-B_x$

Entonces, usando$P^0_0=1, P^1_1=P^2_2=P^3_3=-1$, y cero en caso contrario:

$\bar{F}^{0i}=P^0_0 P^i_j F^{0j} = (1)(-1)F^{0i}$, por lo que el campo eléctrico obtiene un menos

$\bar{F}^{ij}=P^i_s P^j_k F^{sk}=(-1)^2 F^{ij}$, por lo que el campo magnético no cambia

Con respecto a la ecuación, el término en LHS va como$\partial_{\mu}F^{\mu\nu}\to\left(P^{-1}\right)^{\kappa}_\mu\partial_{\kappa}P^\mu_\sigma P^\nu_\rho F^{\sigma\rho}=\delta^\kappa_\sigma\partial_{\kappa} P^\nu_\rho F^{\sigma\rho}=P^\nu_\rho \partial_{\mu} F^{\mu\rho}$. Descubrirá que la RHS se transforma de la misma manera, por lo que el efecto de la transformación es multiplicar la ecuación completa por un operador invertible$P$. Por lo tanto, la ecuación no cambia.

Como la corriente es un vector, no es invariante bajo paridad. Por lo tanto, tampoco lo es la ley de Ampère.