Invariancia de Lorentz de la medida de integración

Es invariante porque el grupo de Lorentz es$SO(3,1)$y la letra "S" significa "especial", lo que matemáticamente significa la condición

$$\det M = +1.$$ Pero el determinante es exactamente el coeficiente por el cual la forma del volumen se multiplica cuando las coordenadas se transforman en Lorentz: $$x \to M\cdot x\quad \Rightarrow \quad d^4 x \to \det M \cdot d^4 x$$ (Esta regla de transformación basada en determinantes también se puede derivar si uno ve la forma de volumen como un tensor antisimétrico con 4 índices), por lo que si el determinante es igual a $+1$, la medida no cambia. Bien, $d^4 x$generalmente se interpreta como $|d^4 x|$, por lo que en realidad es invariante bajo el todo $O(3,1)$, incluyendo las métricas con $\det M =-1$. y la condición $\det M=\pm 1$(con "OR") se deriva de la propia condición de ortogonalidad, por lo que el adjetivo "especial" es realmente innecesario cuando ya nos estamos enfocando en matrices pseudoortogonales.