¿Cómo puede transformarse un potencial genérico bajo transformaciones de Lorentz?

Question

¿Cómo puede transformarse un potencial genérico bajo transformaciones de Lorentz?

Física
potencial
lorentz-simetría
energía potencial
relatividad especial
formalismo lagrangiano

knzhou

La partícula relativista estándar Lagrangiana es

L = - \sum {metro}_{i} \sqrt{1 - v_{i}^{2}} - V (X_{i}) .

$L = - \sum m_i \sqrt{1-v_i^2} - V(x_i).$ El primer término aporta un escalar a la acción, como debería ser, pero el segundo término no es claramente un escalar de Lorentz; contribuye

\int V (x) d t

$\int V(x) \, dt$ , por lo que para que sea invariante de Lorentz necesitamos saber cómo

V (x)

$V(x)$ transforma

Por ejemplo, en el caso del electromagnetismo, tenemos $V = q \phi$ . La solución a este problema es que el acoplamiento completo es en realidad $q (\phi - \mathbf{A} \cdot \mathbf{v})$ . Entonces el potencial contribuye $\int A_\mu dx^\mu$ a la acción, que es manifiestamente invariante de Lorentz.

Me gustaría saber cómo funciona esto para un potencial general. $V$ , además del potencial eléctrico. (Los ejemplos pueden incluir $V = kx^2/2$ o $V = -Gm_1 m_2/r$ .) ¿Tiene sentido en general hacer $V$ parte de un potencial cuádruple, o quizás más general? Si es así, ¿qué representan físicamente los otros componentes?

Respuestas (4)

¿Cómo puede transformarse un potencial genérico bajo transformaciones de Lorentz?

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

si asumes $V(x)$ ser un escalar , entonces la invariancia de Lorentz implica que

V = V (X^{2})

$V=V(x^2)$ dónde

x^{2} = t^{2} - x^{2}

$x^2=t^2-\boldsymbol x^2$ . Por ejemplo, el oscilador armónico relativista tiene

V = \frac{1}{2} k X^{2}

$V=\frac12 k x^2$

También se puede permitir $V$ ser dependiente de la velocidad, en cuyo caso uno puede usar los escalares $x^2,u^2,u\cdot x$ en el potencial (aunque no conozco ningún sistema de la vida real que use esto).

si permites $V$ ser algo más general que un escalar, entonces puedes tener una dependencia más general de $V$ en $x$ , por ejemplo, en el OP, donde $V$ es la componente cero de un vector.

Se puede encontrar una discusión más general en la entrada de wikipedia Mecánica relativista lagrangiana . Por ejemplo, el análisis general de la invariancia de Lorentz se vuelve mucho más transparente en la formulación reparametrisaiton-invariante, donde el lagrangiano dice

L = \frac{1}{2} metro tu (τ)^{2} + V (X, tu)

$L=\frac12 m u(\tau)^2+V(x,u)$ con

u = \frac{d}{d τ} x

$u=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}x$ . La electrodinámica clásica ha

V (X, tu) = q tu \cdot A (X)

$V(x,u)=q\ u\cdot A(x)$

Cabe señalar que el caso de las interacciones gravitatorias es más sutil. Los primeros intentos de construir interacciones de Lorentz incluyen la teoría de la gravitación de Nordström , la primera de las cuales no puede derivarse de un Lagrangiano. Ninguno de los dos está de acuerdo con los experimentos. La teoría actualmente aceptada es, por supuesto, la Relatividad General.

conmutartot · Answer 2

$V$ fondo fijo

Empecemos por no preocuparnos por lo que genera el potencial. Si la física está bien descrita en un marco particular por un potencial $V$ , podemos (siguiendo el OP) establecer ese potencial para que sea el componente de tiempo de un potencial de 4 vectores $A$ , que luego dará una teoría invariante de Lorentz. No estoy seguro de cómo interpretar los componentes espaciales de $A$ , pero vale la pena señalar que en el caso de la gravedad newtoniana, $V=-GMm/r$ , se obtiene la teoría del gravitoelectromagnetismo . En otras palabras, quizás lo mejor que podemos hacer para interpretar los componentes es hacer una analogía con el electromagnetismo (veremos la desviación dependiente de la velocidad después de hacer un impulso).

Por supuesto, este procedimiento no es una forma única de construir una teoría invariante de Lorentz a partir de una newtoniana. Trabajemos usando $4$ -fuerzas en lugar de $4$ -potenciales. Entonces podemos escribir un $4$ -versión de la Segunda Ley de Newton:

F^{m} (X, v) = {metro}_{0} \frac{d v^{m}}{d τ},

$F^\mu(x,v)=m_0\frac{dv^\mu}{d\tau},$

dónde $x$ es la posición y $v$ es el $4$ -velocidad. Ampliando sobre $v=0$ da:

\begin{matrix} (1) & {metro}_{0} \frac{d v_{m}}{d τ} = F_{m}^{(0)} (X) + F_{m v}^{(1)} (X) v^{v} + F_{m v σ}^{(2)} (X) v^{v} v^{σ} + \dots \end{matrix}

$m_0 \frac{dv_\mu}{d\tau}=F^{(0)}_\mu(x)+F^{(1)}_{\mu\nu}(x)v^\nu+F^{(2)}_{\mu\nu\sigma}(x)v^\nu v^\sigma+\cdots\tag{1}$

La condición de que el $4$ -fuerza ser ortogonal a la $4$ -conjuntos de velocidad $F^{(0)}_\mu$ igual a $0$ , $F^{(1)}$ a algo antisimétrico, etc. Está claro que necesitamos mantener al menos $F^{(1)}$ , que da teorías de tipo E&M. Pero las extensiones invariantes de Lorentz que ponen la 3-fuerza no relativista $F_i$ en $F^{(2)}_{itt}$ en lugar de en $F^{(1)}_{it}$ son, creo, también posibles.

$V$ procedente de la materia

Si nos importa el camino $V$ se origina, entramos en el dominio de la teoría de campos, que está más restringido que el caso anterior. Antes, podíamos permitir que el $F^{(i)}$ variar arbitrariamente en el espacio-tiempo porque un fondo preestablecido arbitrario estaba bien (ya que el potencial no relativista se tomó como un fondo preestablecido arbitrario). Pero se supone que debemos construir la densidad lagrangiana de una teoría de campo invariante de Lorentz solo a partir de los campos y sus derivados. Bajo suposiciones fuertes como localidad/renormalizabilidad/etc., creo que obtenemos las teorías en la respuesta de Bruce Greetham, pero probemos un contexto un poco más general.

Supongamos una corriente vectorial $j^\mu$ genera el potencial (como E&M pero a diferencia de GR), y suponga que la teoría es lineal (por lo que solo la materia, y no el campo potencial en sí, genera el potencial). Entonces tenemos una ecuación de campo que se parece a:

F^{m} [A] = j^{m},

$F^\mu[A]=j^\mu,$

dónde $F$ es algún operador lineal. Tomando la transformada de Fourier, invirtiendo $F$ , y usando eso solo tenemos $A$ y $k$ disponible para nosotros para construir cantidades invariantes de Lorentz, da (creo):

A^{m} = (R (k) d^{m}_{v} + S (k) k^{m} k_{v}) j^{v},

$A^\mu=(R(k)\delta^\mu{}_\nu+S(k)k^\mu k_\nu)j^\nu,$

dónde $R$ y $S$ son funciones arbitrarias de $k$ . enchufando $j^\nu=\delta^{(3)}(x)\delta^\nu{}_0$ y mirando el $A^0$ término puede dar restricciones sobre el $V$ 's que pueden surgir de tal teoría, pero no pude resolver esto. (Por ejemplo, obviamente necesitamos invariancia de 3 rotaciones, pero no estoy seguro de si alguna invariancia de 3 rotaciones $V$ surge para la correcta elección de $R$ y $S$ . Contraste esto con la sección anterior, donde incluso los no rotacionalmente simétricos $V$ 's podría ser promovido a $A$ 's).

Pequeña observación: el gravitoelectromagnetismo no es en general invariante de Lorentz (porque $j_\mathrm{matter}^\mu$ no es un cuatro vector). Solo es LI para soluciones de vacío.
En la sección donde menciono GEM, no estoy considerando la forma en que las corrientes generan el potencial, y creo que la forma en que se mueve la materia en un potencial GEM es invariante de Lorentz. Además, si no viviéramos en un universo donde $E=mc^2$ , ¿no podemos simplemente pensar en GEM como una cantidad similar a la carga de E&M que concuerda con la masa en el límite no relativista?
1) sí, sé que en su respuesta estaba considerando soluciones de vacío. Solo pensé que era importante señalar que el enfoque no funciona para dinámicas con fuentes. 2) el problema es que en EM las fuentes $j^\mu$ son cuatro vectores, mientras que en GEM no lo son : las corrientes electromagnéticas se transforman covariantemente bajo las transformaciones de Lorentz, mientras que las corrientes gravitatorias no se transforman covariantemente.

salvatore baldino · Answer 3

Bueno, ese es exactamente el punto. Incluso en física galileana, puedes tener muchos lagrangianos no escalares, y son muy útiles.

Los potenciales clásicos que ha enumerado (gravitacional y elástico) son exactamente dos ejemplos de potenciales no escalares. Se explican físicamente por la presencia de una fuente externa al sistema (la gravedad de la Tierra en el primer caso, el resorte en el segundo). Cuando aplica transformaciones al sistema, no cambia la ubicación.

Incluso en el caso electromagnético, si el campo descrito por los potenciales proviene de cargas que no están descritas en el sistema, la pieza extra que obtienes no es invariante de Lorentz, ya que el potencial no cambia, siendo externo. El Lagrangiano electromagnético es verdaderamente invariante de Lorentz si no tiene campos externos y usa el potencial para describir el campo generado por las cargas que está describiendo.

Lo siento, no hablé claramente. Asumo que todo es interno, entonces estaríamos considerando dos partículas conectadas por resortes, o interactuando gravitacionalmente, etc. En este caso, ¿cómo se hace invariante el Lagrangiano de Lorentz?

Arnold Neumaier · Answer 4

Su pregunta no tiene respuesta ya que no existe una imagen relativista clásica sensata de múltiples partículas. Currie, Jordan y Sudarshan, Reviews of Modern Physics 35 (1963), 350, demostraron un teorema de no-go correspondiente.

Consulte también https://physics.stackexchange.com/a/32401/7924

¿Cómo puede transformarse un potencial genérico bajo transformaciones de Lorentz?

knzhou

Respuestas (4)

AccidentalFourierTransformar

AccidentalFourierTransformar

conmutartot

$V$ fondo fijo

$V$ procedente de la materia

AccidentalFourierTransformar

conmutartot

AccidentalFourierTransformar

salvatore baldino

knzhou

Arnold Neumaier

¿Por qué no consideramos el Lagrangiano de giro 1 "más general", sino solo un caso especial?

Cantidad conservada de un lagrangiano libre relativista para un impulso de Lorentz

Sistema no conservativo y potenciales dependientes de la velocidad

¿Son los pseudoespinores válidos o útiles?

¿Es el término potencial en un Lagrangiano dependiente de la velocidad?

Invariancia de Lorentz de la medida de integración

Pozo cuadrado infinito de potencial negativo

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) representación de SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\oveces SU(2)

¿Cómo recuperamos unidades de fuerza a partir de unidades de potencial gravitatorio?

Contracción espacial (Lorentz-Fitzgerald)

¿Cómo puede transformarse un potencial genérico bajo transformaciones de Lorentz?

knzhou

Respuestas (4)

AccidentalFourierTransformar

AccidentalFourierTransformar

conmutartot

V V Vfondo fijo

V V Vprocedente de la materia

AccidentalFourierTransformar

conmutartot

AccidentalFourierTransformar

salvatore baldino

knzhou

Arnold Neumaier

$V$ fondo fijo

$V$ procedente de la materia