Invariancia de calibre en QED

En las teorías habituales, el número de libertad de un sistema se puede obtener observando el número de variables en relación con el número de ecuaciones que describen el sistema. En el caso de la electrodinámica clásica uno estaría tentado a derivar la ecuación de movimiento para el fotón del Lagrangiano${\scr{L}}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$y tratar de restringir los 4 componentes de la$A_\mu$campo a dos.

sin embargo, el$A_\mu$experiencias de campo calibre invariancia$A_\mu \rightarrow A_\mu - \partial_\mu \alpha$. Los valores$\alpha$puede elegirse libremente en el Lagrangiano y esta invariancia de calibre es responsable de una redundancia en la descripción del sistema, el verdadero número de grados de libertad permanece oculto. Para averiguar los verdaderos grados de libertad físicos, es necesario cuantificar el sistema y aislar la redundancia de calibre. Esto se hace mediante el formalismo Gupta-Bleuler en el QED. El procedimiento más general se llama cuantización de Fadeev-Popov y también es aplicable a teorías no abelianas.

El punto principal en el procedimiento de cuantificación es escribir el campo de fotones como una descomposición de Fourier con operadores de aniquilación y creación.$a$y$a^\dagger$:

Los cuatro grados de libertad anteriores del sistema ahora están en los 4 vectores de polarización linealmente independientes$\epsilon(k)$. El calibre de Lorentz$\partial_\mu A^\mu =0$ahora debe imponerse en el nivel cuántico, por lo tanto en el espacio de Hilbert dando$k_\mu \epsilon^\mu= 0$. Esto restringe las posibles polarizaciones del fotón eliminando la polarización longitudinal. Por lo tanto, se pierde un grado de libertad.

Continuando con el procedimiento y usando la condición sin masa$k^2=0$se puede hacer otra posible polarización desacoplada de los grados de libertad físicos y dejando el sistema con solo 2 polarizaciones transversales físicas. El proceso de cuantización es altamente no trivial y también lo es el conteo de grados de libertad.