¿Qué sucederá si el fotón tiene una masa distinta de cero?

Question

¿Qué sucederá si el fotón tiene una masa distinta de cero?

masa
fotones
Física
invariancia de calibre
electrodinámica-cuántica

fisnolímites

Quiero saber la implicación teórica si los fotones tienen una masa distinta de cero.

¿Qué sucede con las ecuaciones de Maxwell?
¿Qué le sucede a QFT?
¿Si el fotón tiene masa puede decaer?

Horus

Para una relatividad perdería sentido.

sxwzd

Bueno, el Proca Lagrangiano ya no sería invariante de calibre; eso causará muchos problemas para el modelo estándar tal como lo conocemos.

curioso

@Horus: la relatividad estaría bien con partículas masivas. No necesita una implementación real de un campo sin masa que rastree los límites exteriores de las transformaciones de Lorentz.

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/4700/2451 , physics.stackexchange.com/q/31994/2451 y enlaces allí.

Siva

El fotón puede adquirir una masa efectiva debido a algunos mecanismos diferentes, que provocan respectivamente los siguientes efectos: 1. en.wikipedia.org/wiki/Meissner_effect 2. en.wikipedia.org/wiki/Debye_length

fisnolímites

Pero esos son efectos, quiero decir en general ...

Conde Iblis

arxiv.org/abs/hep-ph/0306245

Respuestas (4)

¿Qué sucederá si el fotón tiene una masa distinta de cero?

Bueno, el Proca Lagrangiano ya no sería invariante de calibre; eso causará muchos problemas para el modelo estándar tal como lo conocemos.
@Horus: la relatividad estaría bien con partículas masivas. No necesita una implementación real de un campo sin masa que rastree los límites exteriores de las transformaciones de Lorentz.
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/4700/2451 , physics.stackexchange.com/q/31994/2451 y enlaces allí.
El fotón puede adquirir una masa efectiva debido a algunos mecanismos diferentes, que provocan respectivamente los siguientes efectos: 1. en.wikipedia.org/wiki/Meissner_effect 2. en.wikipedia.org/wiki/Debye_length

Murod Abdukhakimov · Answer 1

Creo que la parte más interesante de esta pregunta es la siguiente:

¿Qué sucede con las ecuaciones de Maxwell?

La velocidad de la luz $c$ es una constante fundamental utilizada tanto en las ecuaciones de Maxwell como en la relatividad especial.

Las ecuaciones de Maxwell permiten que las ondas electromagnéticas viajen a la velocidad $c$ . La relatividad especial clásica (SR) no permite que las partículas con masas distintas de cero viajen a la velocidad $c$ . De esto concluimos que en la física clásica los fotones no deberían tener masa.

Sin embargo, en física cuántica la situación es diferente. Se permite que las partículas masivas viajen a una velocidad incluso superior a $c$ . Ver, por ejemplo, cita de la conferencia Nobel de Frank Wilczek:

"Imagínese una partícula moviéndose en promedio a una velocidad muy cercana a la de la luz, pero con una posición incierta, como lo exige la teoría cuántica. Evidentemente, habrá alguna probabilidad de observar que esta partícula se mueva un poco más rápido que el promedio y, por lo tanto, más rápido. que la luz, que la relatividad especial no permite. La única forma conocida de resolver esta tensión consiste en introducir la idea de las antipartículas".

Por lo tanto, en la teoría cuántica no estamos restringidos por el requisito de la SR de que solo las partículas sin masa pueden viajar a la velocidad $c$ .

¿Permiten las ecuaciones de Maxwell que las fuentes masivas viajen a la velocidad $c$ ?

Las ecuaciones de Maxwell no contienen términos de masa . En particular, en el caso de las ondas electromagnéticas en el vacío que se consideran "fuente libre".

Si asumimos que los fotones tienen una masa distinta de cero, además de los campos electromagnéticos $\textbf{E}$ , $\textbf{B}$ también necesitaremos campos de materia para la partícula fuente. Una de las opciones es asumir que estos campos de materia son espinoriales:

ψ (X) = {ξ, \dot{η}} = {ξ, 0} + {0, \dot{η}} = (\begin{array}{cc} ξ^{1} (X) \\ ξ^{2} (X) \\ η_{\dot{1}} (X) \\ η_{\dot{2}} (X) \end{array})

$\begin{equation} \psi{}(x)=\left\{\xi{},\ \dot{\eta{}}\right\}=\ \left\{\xi{},\ 0\right\}+\left\{0,\ \dot{\eta{}}\right\}=\ \left({\begin{array}{ cc} {\xi{}}^1(x) \\ {\xi{}}^2(x)\\ {\eta{}}_{\dot{1}}(x) \\ {\eta{}}_{\dot{2}}(x) \end{array}}\right) \end{equation}$

Además de las ecuaciones de Maxwell, también necesitaremos introducir algunas ecuaciones de campo de materia nuevas que serán "responsables" de la cinemática de los fotones.

El papel de estas ecuaciones de campo de materia será similar al papel de las ecuaciones de Dirac en el caso del movimiento de electrones.

\begin{array}{cl} \partial^{m \dot{v}} η_{\dot{v}} + i metro ξ^{m} = 0 \\ \partial_{m \dot{v}} ξ^{m} + i metro η_{\dot{v}} = 0 \\ (F r mi mi D i r a C mi q tu a t i o norte F o r mi yo mi C t r o norte) \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{columns} {\partial{}}^{\mu{}\dot{\nu{}}} {\eta{}}_{\dot{\nu{}}}\ +\ im \ {\xi{}}^{\mu{}}=\ 0 \\ \\ {\partial{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}} {\xi{}}^{\mu{}}+\ im \ {\eta{}}_{\dot{\nu{}}}=0 \\ \\ (Free \ Dirac \ equation \ for \ electron) \end{array} \end{equation}$

A continuación mostraré que existe una ecuación espinorial invariante de Lorentz que:

hace que las ondas electromagnéticas sean "masivas",
puede hacerse no solo consistente con, sino equivalente a, las ecuaciones de Maxwell,
en el caso de ondas electromagnéticas de plano transversal, solo permite soluciones sin masa que viajan a la velocidad $c$ (fotones),
en el caso de ondas planas longitudinales permite soluciones masivas que viajan a la velocidad $c$ y satisfaciendo la condición de Majorana (neutrino).

Utilizo aquí el cálculo del espinor desarrollado por B. van der Waerden, GE Uhlenbeck y O. Laporte (notas detalladas y todos los cálculos se pueden encontrar aquí ). Esto se debe a que muchas ecuaciones espinoriales son mucho más simples que las ecuaciones tensoriales correspondientes. Como se puede ver en las expresiones de arriba y abajo, esto se aplica igualmente a las ecuaciones de Maxwell y Dirac.

Ecuaciones de Maxwell en forma espinorial

En el álgebra tensorial, las intensidades de campo electromagnético se expresan en forma de tensor de campo electromagnético de segundo orden antisimétrico . $F_{\mu \nu}$ .

De manera similar, en el cálculo de espinores, las intensidades de los campos electromagnéticos se expresan en forma de dos espinores de segundo rango simétricos conjugados complejos $f_{\mu{}\nu{}}$ y $\dot{f}_{\dot{\mu{}}\dot{\nu{}}}$ :

F_{m v} = F_{v m}

$\begin{equation} f_{\mu{}\nu{}}=\ f_{\nu{}\mu{}} \end{equation}$

{\dot{F}}_{\dot{v}}^{\dot{m}} = \bar{F_{v}^{m}}

$\begin{equation} {\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}}=\overline{f_{\nu{}}^{\mu{}}} \end{equation}$

Debido a la simetría de los espinores, el campo tiene solo 3 componentes complejos:

F_{11}, F_{12} = F_{21}, F_{22}

$\begin{equation} f_{11}, \hspace{10mm} f_{12}=\ f_{21}, \hspace{10mm} f_{22} \end{equation}$

Esta propiedad nos permite introducir la estructura del espacio complejo tridimensional para espinores de campo electromagnético.

F_{v}^{m} = [\begin{array}{cc} F_{1}^{1} & F_{2}^{1} \\ F_{1}^{2} & F_{2}^{2} \end{array}] = [\begin{array}{cc} F^{3} & F^{1} - i F^{2} \\ F^{1} + i F^{2} & - F^{3} \end{array}] = F^{k} σ_{k}, k = 1, 2, 3

$\begin{equation} f_{\nu{}}^{\mu{}}=\ \left[\begin{array}{ cc} f_1^1 & f_2^1 \\ f_1^2 & f_2^2 \end{array}\right]=\ \left[\begin{array}{ cc} F^3 & F^1-iF^2 \\ F^1+iF^2 & -F^3 \end{array}\right]=F^k{\sigma{}}_k,\hspace{10mm} k=1,2,3 \end{equation}$

donde "coordenadas" $F^k$ se puede descomponer en partes reales e imaginarias

F = mi - i B

$\begin{equation} \textbf{F}=\textbf{E}-i\textbf{B} \end{equation}$

Las ecuaciones de Maxwell en forma de espinor son muy simples y elegantes:

\begin{array}{cl} \partial^{v \dot{ρ}} F_{v}^{m} = S^{m \dot{ρ}} \\ (METRO a X w mi yo yo mi q tu a t i o norte s i norte s pag i norte o r i a yo F r o metro) \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{columns} {\partial{}}^{\nu{}\dot{\rho{}}}f_{\nu{}}^{\mu{}}=\ S^{\mu{}\dot{\rho{}}} \\ \\ (Maxwell \ equations \ in \ spinorial \ from) \end{array} \end{equation}$

Aquí usamos la forma espinorial de la densidad de corriente electromagnética $S^{\mu{}\dot{\rho{}}}$ :

S_{m \dot{v}} = [\begin{array}{cc} S_{1 \dot{1}} & S_{1 \dot{2}} \\ S_{2 \dot{1}} & S_{2 \dot{2}} \end{array}] = [\begin{array}{cc} j^{0} + j^{3} & j^{1} + i j^{2} \\ j^{1} - i j^{2} & j^{0} - j^{3} \end{array}]

$\begin{equation} S_{\mu{}\dot{\nu{}}}=\left[\begin{array}{ cc} S_{1\dot{1}} & S_{1\dot{2}} \\ S_{2\dot{1}} & S_{2\dot{2}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ cc} J^0+J^3 & J^1+iJ^2 \\ J^1-iJ^2 & J^0-J^3 \end{array}\right] \\ \end{equation}$

vector complejo $J^k$ correspondiente al espinor $S^{\mu{}\dot{\rho{}}}$ se puede descomponer en eléctrico ( $J_e$ ) y magnético ( $J_m$ ) densidades de corriente:

j^{k} = {j_{mi}}^{k} - i {j_{metro}}^{k} k = 0, 1, 2, 3

$\begin{equation} J^k={J_e}^k-i{J_m}^k \hspace{10mm} k=0, 1, 2, 3 \end{equation}$

El espinor de densidad de fuerza de Lorentz es el siguiente:

Λ_{m \dot{v}} = - [{\dot{F}}_{\dot{v}}^{\dot{ρ}} S_{m \dot{ρ}} + F_{m}^{d} {\dot{S}}_{d \dot{v}}]

$\begin{equation} {\Lambda{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}=-\left[{\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\rho{}}} \ S_{\mu{}\dot{\rho{}}}+f_{\mu{}}^{\delta{}} \ {\dot{S}}_{\delta{}\dot{\nu{}}}\right] \end{equation}$

Por supuesto, el espinor de densidad de fuerza ${\Lambda{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}$ corresponde a la densidad de fuerza de Lorentz de 4 vectores $\mathcal{F}^{\mu{}}$ :

Λ_{m \dot{v}} = [\begin{array}{cc} Λ_{1 \dot{1}} & Λ_{1 \dot{2}} \\ Λ_{2 \dot{1}} & Λ_{2 \dot{2}} \end{array}] = [\begin{array}{cc} F^{0} + F^{3} & F^{1} + i F^{2} \\ F^{1} - i F^{2} & F^{0} - F^{3} \end{array}]

$\begin{equation} {\Lambda{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}=\left[\begin{array}{ cc} {\Lambda{}}_{1\dot{1}} & {\Lambda{}}_{1\dot{2}} \\ {\Lambda{}}_{2\dot{1}} & {\Lambda{}}_{2\dot{2}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ cc} \mathcal{F}^0+\mathcal{F}^3 & \mathcal{F}^1+i\mathcal{F}^2 \\ \mathcal{F}^1-i\mathcal{F}^2 & \mathcal{F}^0-\mathcal{F}^3 \end{array}\right] \end{equation}$

Ecuaciones de campo de materia

Ahora necesitamos introducir las ecuaciones de campo de materia que contienen los términos de masa de la partícula fuente.

Comenzaremos con la bien conocida ecuación de acoplamiento de Pauli que se parece mucho a la ecuación libre de Dirac (ver arriba):

\begin{array}{cl} \partial^{m \dot{v}} η_{\dot{v}} + i F_{v}^{m} ξ^{v} = 0 \\ \partial_{m \dot{v}} ξ^{m} + i {\dot{F}}_{\dot{v}}^{\dot{m}} η_{\dot{m}} = 0 \\ (PAG a tu yo i C o tu pag yo i norte gramo mi q tu a t i o norte) \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{cols} {\partial{}}^{\mu{}\dot{\nu{}}}{\eta{}}_{\dot{\nu{}}} + \ if_{\nu{}}^{\mu{}} \ {\xi{}}^{\nu{}} = 0\\ \\ {\partial{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}{\xi{}}^{\mu{}} + \ i{\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}} \ {\eta{}}_{\dot{\mu{}}} = 0 \\ \\ (Pauli \ coupling \ equation) \end{array} \end{equation}$

En esta ecuación, los campos de espinor y coespinor están acoplados a través de espinores de campo electromagnético de segundo rango. $f_{\mu{}\nu{}}$ y $\dot{f}_{\dot{\mu{}}\dot{\nu{}}}$ , mientras que en una ecuación de Dirac libre, los campos de espinor y coespinor están acoplados a través de la constante de masa $m$ .

La similitud entre dos ecuaciones puede hacerse aún más fuerte si exigimos que los campos de materia espinorial $\xi{}$ y $\dot{\eta{}}$ son vectores propios de los espinores de campo electromagnético de segundo rango $f_{\nu{}}^{\mu{}}$ y ${\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}}$ correspondientemente:

\begin{array}{ccc} F_{v}^{m} ξ^{v} = λ ξ^{m} \\ {\dot{F}}_{\dot{v}}^{\dot{m}} η_{\dot{m}} = \bar{λ} η_{\dot{v}} \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{ccc} f_{\nu{}}^{\mu{}} \ {\xi{}}^{\nu{}}=\ \lambda{}\ {\xi{}}^{\mu{}} \\ \\ {\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}} \ {\eta{}}_{\dot{\mu{}}}=\bar{\lambda{}}\ {\eta{}}_{\dot{\nu{}}} \end{array} \end{equation}$

Con esta condición, nuestras ecuaciones de campo de materia se vuelven muy simples.

\begin{array}{cl} \partial^{m \dot{v}} η_{\dot{v}} + i λ ξ^{m} = 0 \\ \partial_{m \dot{v}} ξ^{m} + i \bar{λ} η_{\dot{v}} = 0 \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{cols} {\partial{}}^{\mu{}\dot{\nu{}}}{\eta{}}_{\dot{\nu{}}}+\ i\lambda{}\ {\xi{}}^{\mu{}}=0\\ \\ {\partial{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}{\xi{}}^{\mu{}}\ +\ i\bar{\lambda{}}\ {\eta{}}_{\dot{\nu{}}}=0 \end{array} \end{equation}$

y replicar la estructura de la ecuación libre de Dirac donde el término de masa constante $m$ se reemplaza por los términos variables de "densidad de masa" $\lambda{}$ y $\bar{\lambda{}}$ .

Teniendo en cuenta la forma explícita de los espinores del campo electromagnético $f_{\nu{}}^{\mu{}}$ y ${\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}}$ uno puede ver que los valores propios $\lambda{}$ y $\bar{\lambda{}}$ son bien conocidos invariantes del campo electromagnético:

\begin{array}{ccc} λ_{\pm} = \pm \sqrt{{(F^{1})}^{2} + {(F^{2})}^{2} + {(F^{3})}^{2}} & {λ_{\pm}}^{2} = {mi}^{2} - B^{2} - 2 i mi \cdot B \\ {\bar{λ}}_{\pm} = \pm \sqrt{{(\bar{F^{1}})}^{2} + {(\bar{F^{2}})}^{2} + {(\bar{F^{3}})}^{2}} & {\bar{λ}}_{\pm}^{2} = {mi}^{2} - B^{2} + 2 i mi \cdot B \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{ccc} {\lambda{}}_{\pm{}}=\ \pm{}\sqrt{{\left(F^1\right)}^2+{\left(F^2\right)}^2+{\left(F^3\right)}^2} & & {{\lambda{}}_{\pm{}}}^2=\ E^2-B^2-2i\ \textbf{E}\cdot \textbf{B} \\ \\ {\overline{\lambda{}}}_{\pm{}}=\ \pm{}\sqrt{{\left(\ \bar{F^1}\right)}^2+{\left(\ \bar{F^2}\right)}^2+{\left(\ \bar{F^3}\right)}^2} & & {{\overline{\lambda{}}}_{\pm{}}}^2=\ E^2-B^2+2i\ \textbf{E}\cdot \textbf{B} \end{array} \end{equation}$

vectores propios

Derivamos ahora las expresiones para los vectores propios de los espinores del campo electromagnético $f_{\nu{}}^{\mu{}}$ y ${\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}}$ .

Considere un punto arbitrario $Q$ en el espacio-tiempo. Por conveniencia, podemos elegir el marco de referencia (denotado como $M_{\perp{}}$ ) de tal manera que los campos $\textbf{E}$ , $\textbf{B}$ en el punto $Q$ será ortogonal al eje $\textbf{e}_3$ .

Hay, por supuesto, un número infinito de dichos marcos, pero todas las consideraciones presentadas a continuación son válidas para cualquiera de estos marcos.

En el marco de referencia $M_{\perp{}}$ la expresión para espinor $f_{\nu{}}^{\mu{}}$ en el punto $Q$ será:

F_{v}^{m} = [\begin{array}{cc} 0 & F^{1} - i F^{2} \\ F^{1} + i F^{2} & 0 \end{array}]

$\begin{equation} f_{\nu{}}^{\mu{}}=\ \left[\begin{array}{ cc} 0 & F^1-iF^2 \\ F^1+iF^2 & 0 \end{array}\right] \end{equation}$

porque $F^3=0$ en el punto $Q$ .

Uno puede comprobar fácilmente ahora que dos espinores ${\xi{}}_+$ y ${\xi{}}_-$ definido como

ξ_{\pm} = [\begin{matrix} ξ_{\pm}^{1} \\ ξ_{\pm}^{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \pm \sqrt{F^{1} - i F^{2}} \\ \sqrt{F^{1} + i F^{2}} \end{matrix}]

$\begin{equation} {\xi{}}_{\pm{}}=\ \left[\begin{array}{ c} {\xi{}}_{\pm{}}^1 \\ \\ {\xi{}}_{\pm{}}^2 \end{array}\right]=\ \left[ \begin{array}{ c} \pm{}\sqrt{F^1-iF^2} \\ \\ \sqrt{F^1+iF^2} \end{array}\right] \end{equation}$

serán vectores propios de la matriz $f_{\nu{}}^{\mu{}}$ en el punto $Q$ :

F_{v}^{m} ξ_{\pm}^{v} = λ_{\pm} ξ_{\pm}^{m}

$\begin{equation} f_{\nu{}}^{\mu{}} \ {\xi{}}_{\pm{}}^{\nu{}}=\ {\lambda{}}_{\pm{}} \ {\xi{}}_{\pm{}}^{\mu{}} \end{equation}$

Por lo tanto, con la elección especial del marco de referencia podemos escribir una expresión explícita para los componentes del campo espinorial $\xi{}$ satisfaciendo la condición del vector propio. Las expresiones para los componentes de campo en todos los demás marcos se pueden obtener mediante las transformaciones de Lorentz apropiadas.

De manera similar, se puede mostrar que en el marco de referencia $M_{\perp{}}$ dos co-espinadores ${\dot{\eta{}}}_+$ y ${\dot{\eta{}}}_-$ definido como

{\dot{η}}_{\pm} = [\begin{matrix} {η_{\pm}}_{\dot{1}} \\ {η_{\pm}}_{\dot{2}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \pm \sqrt{\bar{F^{1}} - i \bar{F^{2}}} \\ \sqrt{\bar{F^{1}} + i \bar{F^{2}}} \end{matrix}]

$\begin{equation} {\dot{\eta{}}}_{\pm{}}=\ \left[ \begin{array}{c} {{\eta{}}_{\pm{}}}_{\dot{1}} \\ \\ {{\eta{}}_{\pm{}}}_{\dot{2}} \end{array}\right]=\ \left[ \begin{array}{c} \pm{}\sqrt{\bar{F^1}-i\bar{F^2}} \\ \\ \sqrt{\bar{F^1}+i\bar{F^2}} \end{array}\right] \end{equation}$

satisfará la condición

{\dot{F}}_{\dot{v}}^{\dot{m}} {η_{\pm}}_{\dot{m}} = {\bar{λ}}_{\pm} {η_{\pm}}_{\dot{v}}

$\begin{equation} {\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}} \ {{\eta{}}_{\pm{}}}_{\dot{\mu{}}}={\bar{\lambda{}}}_{\pm{}} \ {{\eta{}}_{\pm{}}}_{\dot{\nu{}}} \end{equation}$

en el punto $Q$ .

A partir de estas expresiones explícitas para los componentes del espinor, podemos derivar el "cuadrado de masa" del cuadrivector de densidad de momento $P_{\mu{}}$

{{PAG}_{m}} \to {PAG}^{m \dot{v}} = ξ^{m} ξ^{\dot{v}} + η^{m} η^{\dot{v}}

$\begin{equation} \left\{P_{\mu{}}\right\}\rightarrow{}P^{\mu{}\dot{\nu{}}}=\ \xi^{\mu{}}\xi^{\dot{\nu{}}}+\eta^{\mu{}}\eta^{\dot{\nu{}}} \end{equation}$

que es invariante bajo las transformaciones de Lorentz y, por lo tanto, tiene el mismo valor en todos los marcos de referencia:

{PAG}^{m} {PAG}_{m} = 4 {| λ |}^{2}

$\begin{equation} P^{\mu{}}P_{\mu{}}=4{\left\vert{}\lambda{}\right\vert{}}^2 \end{equation}$

Vale la pena señalar que el vector de densidad de momento $P_{\mu{}}$ siempre es temporal , y su componente temporal $P_0$ siempre es positivo, por lo que no se permiten soluciones con energías negativas.

Ondas electromagnéticas de plano transversal

Ahora consideraremos el caso especial de las ondas electromagnéticas del plano transversal. en el vacío, asumiendo que se cumplen tanto las ecuaciones de Maxwell como las ecuaciones de campo de materia.

La mayor dificultad está en encontrar el equilibrio entre estas dos ecuaciones responsables de la evolución del campo electromagnético y su fuente: las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones de campo de la materia (espinorial). (espinorial) correspondientemente.

Este equilibrio se puede lograr debido a la fuerte conexión entre los campos de materia espinorial y el campo electromagnético establecido debido a la condición del vector propio . Usando el enfoque desarrollado por Belinfante y Ohanian (Am. J. Phys. 54 (6) (1986)) , demostraremos que con esta condición de vector propio, la ecuación del campo de la materia se puede reducir a las ecuaciones de Maxwell, de modo que las evoluciones del campo electromagnético y su fuente se sincronizará .

Considere ondas planas transversales que se propagan en la dirección del eje $\textbf{e}_3$ . En cada punto los vectores de campo eléctrico y magnético $\textbf{E}$ , $\textbf{B}$ son ortogonales al eje $\textbf{e}_3$ :

\begin{matrix} mi, B ⊥ {mi}_{3} \\ F^{3} = {\bar{F}}^{3} \equiv 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{array}{c} \textbf{E}, \textbf{B} \ \perp{}\ \textbf{e}_3 \\ \\ F^3={\bar{F}}^3\equiv{}0 \end{array} \end{equation}$

Esto nos permite utilizar en nuestros cálculos las expresiones explícitas para los componentes del campo espinorial derivadas de la elección especial del marco de referencia. $M_{\perp{}}$ , y reescribir las ecuaciones de campo de materia como

\begin{matrix} (\partial_{1} - {i \partial}_{2}) (F^{1} + i F^{2}) = i \bar{λ} ({PAG}^{0} + {PAG}^{3}) \\ (\partial_{0} - \partial_{3}) (F^{1} - i F^{2}) = 0 \\ (\partial_{0} + \partial_{3}) (F^{1} + i F^{2}) = 0 \\ (\partial_{1} + i \partial_{2}) (F^{1} - i F^{2}) = i \bar{λ} ({PAG}^{0} - {PAG}^{3}) \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{array}{c} \left({\partial{}}_1-{i\partial{}}_2\right)\left(F^1+iF^2\right) = i \ \bar{\lambda{}} \ \left(P^0+P^3\right) \\ \\ \left({\partial{}}_0-{\partial{}}_3\right)\left(F^1-iF^2\right) = 0 \\ \\ \left({\partial{}}_0+{\partial{}}_3\right)\left(F^1+iF^2\right) = 0 \\ \\ \left({\partial{}}_1+i{\partial{}}_2\right)\left(F^1-iF^2\right) = i \ \bar{\lambda{}} \ \left(P^0-P^3\right) \end{array} \end{equation}$

Al mismo tiempo, las ecuaciones de Maxwell para ondas planas transversales son las siguientes:

\begin{matrix} (\partial_{1} - {i \partial}_{2}) (F^{1} + i F^{2}) = j^{0} + j^{3} \\ (\partial_{0} - \partial_{3}) (F^{1} - i F^{2}) = 0 \\ (\partial_{0} + \partial_{3}) (F^{1} + i F^{2}) = 0 \\ (\partial_{1} + i \partial_{2}) (F^{1} - i F^{2}) = j^{0} - j^{3} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{array}{ c} \left({\partial{}}_1-{i\partial{}}_2\right)\left(F^1+iF^2\right)=J^0+J^3 \\ \\ \left({\partial{}}_0-{\partial{}}_3\right)\left(F^1-iF^2\right)=0 \\ \\ \left({\partial{}}_0+{\partial{}}_3\right)\left(F^1+iF^2\right)=0 \\ \\ \left({\partial{}}_1+i{\partial{}}_2\right)\left(F^1-iF^2\right)=J^0-J^3 \end{array} \end{equation}$

Si exigimos la equivalencia de las ecuaciones de Maxwell y campo de materia, concluimos que en el caso de las ondas planas transversales se puede establecer la siguiente relación entre la densidad de carga corriente $J^{\mu{}}$ y la densidad de momento $P^{\mu{}}$ :

j^{m} = i \bar{λ} {PAG}^{m}

$\begin{equation} J^{\mu{}}=i \ \bar{\lambda{}}\ P^{\mu{}} \end{equation}$

En esta expresión el campo electromagnético invariante ( $i\bar{\lambda{}}$ ) juega el papel del escalar de densidad de carga electromagnética (Está claro que ( $-i\lambda{}$ ) juega el mismo papel para las antipartículas).

Generalmente $\bar{\lambda{}}$ tiene un valor complejo, por lo que permite densidades de carga eléctricas y magnéticas distintas de cero.

La expresión para la densidad de fuerza de Lorentz que actúa sobre campos de materia derivada de ondas planas transversales es la siguiente:

Λ_{m \dot{v}} = - i (λ^{2} - {\bar{λ}}^{2}) {PAG}_{A}_{m \dot{v}}

$\begin{equation} {\Lambda{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}=-i\left({\lambda{}}^2-{\bar{\lambda{}}}^2\right){P_A}_{\mu{}\dot{\nu{}}} \end{equation}$

Es interesante que la fuerza de Lorentz $\mathcal{F}^{\mu{}}$ es proporcional a la corriente vectorial axial ${P_A}^{\mu{}}$ .

De la expresión anterior podemos ver que la fuerza de Lorentz se desvanece cuando $\textbf{E}\cdot \textbf{B}=0$ , es decir, cuando las partes imaginarias del campo electromagnético al cuadrado son invariantes ${\lambda{}}^2$ y ${\bar{\lambda{}}}^2$ son cero.

Cuando la fuerza de Lorentz es cero, la densidad de momento del campo de materia permanece constante en el curso del movimiento de la partícula, lo que permite un movimiento uniforme de la partícula.

Como se mencionó anteriormente, el valor del "cuadrado de masa" del cuadrivector de densidad de momento $P_{\mu{}}$ es como sigue:

{PAG}^{m} {PAG}_{m} = 4 {| λ |}^{2}

$\begin{equation} P^{\mu{}}P_{\mu{}}=4{\left\vert{}\lambda{}\right\vert{}}^2 \end{equation}$

Eso significa que incluso si la fuerza de Lorentz es cero, pero $\lambda$ es distinto de cero, la partícula fuente no viajará a la velocidad $c$ . Este es el caso de partículas masivas cargadas como $W$ y $Z$ bosones

En el caso de $\textbf{E} \perp{} \textbf{B}$ , $E=B$ tenemos $\lambda{}=\bar{\lambda{}}=0$ , y las ecuaciones de campo de materia coinciden con las ecuaciones de Maxwell "sin fuente". En este caso la densidad de cantidad de movimiento $P^{\mu{}}$ del campo de materia no es cero, mientras que la corriente de densidad de carga $J^{\mu{}}$ es cero

En este sentido, la onda electromagnética en el vacío no está realmente "libre de fuente", es decir, a pesar de la densidad de carga cero, existe un campo de materia espinorial que es la fuente del campo electromagnético. Sin embargo, sólo los fotones sin masa pueden viajar a la velocidad $c$ (con $P^{\mu{}}P_{\mu{}}=0$ ).

Por el contrario, como se muestra aquí , en el caso de las ondas planas longitudinales, la misma combinación de ecuaciones de Maxwell y ecuaciones de campo de materia permite soluciones que:

satisfacer la condición de Majorana,
tienen densidades de masa y de carga distintas de cero, y
viajar a la velocidad de la luz.

Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell permiten que los fotones sin masa y los neutrinos masivos viajen a la velocidad $c$ .

¿Qué le sucede a QFT?

El campo electromagnético de una partícula está determinado por las ecuaciones de Maxwell , mientras que las propiedades de la partícula en función de su masa están determinadas por las ecuaciones del campo de materia , como la ecuación de Dirac para electrones, etc.

La relación entre estos dos tipos de ecuaciones generalmente se establece mediante una constante arbitraria llamada "carga eléctrica", cuando la "corriente de carga" utilizada en las ecuaciones de Maxwell (como fuente de campo electromagnético) simplemente se supone proporcional al momento mecánico de una partícula determinada. por las ecuaciones de campo de materia:

$J_\mu = Q \times P_\mu$

( $J_\mu$ - corriente de carga, $P_\mu$ - momento mecánico, $Q$ - constante de "carga eléctrica").

Este enfoque funciona bien en QFT, donde todas las partículas se consideran puntuales o sin estructura, y la carga de una partícula siempre está "clavada" a su masa.

Fundamentalmente, en QFT se considera que todos los procesos ocurren dentro de "cajas negras", y la teoría solo tiene como objetivo predecir las salidas de la caja negra a partir de entradas dadas. En QFT, los operadores de creación y aniquilación (y sus relaciones de conmutación) se utilizan para deshacerse de las partículas de entrada y transformarlas en partículas de salida. Las cajas negras no son más que vértices de los diagramas de Feynman.

Debido a este enfoque fundamental "puntual" de las partículas en QFT, esta teoría no se puede utilizar para abordar los problemas relacionados con las masas de las partículas (las bien conocidas dificultades de autoacción en QFT, que no se limitan a las partículas masivas como los electrones). , pero ocurren también para el fotón). Es por eso que todas las masas de las partículas en el Modelo Estándar son solo parámetros libres identificados a partir del experimento. Por ejemplo, la diferencia entre electrón y muón en el SM está solo en el valor de la constante de acoplamiento del campo de fermión y el campo de Higgs.

QFT es una teoría excelente, pero no lo abarca todo, y no está diseñado (ni es adecuado para) abordar los problemas de las masas de las partículas.

En términos generales, QFT no tiene nada que ver con las masas de las partículas y, por lo tanto, no le sucederá nada a QFT si se descubre que los fotones tienen masas distintas de cero (lo que creo que no sucederá). El modelo estándar es lo suficientemente flexible para elaborar partículas masivas y sin masa. Por ejemplo, los neutrinos en el SM pueden hacerse masivos y sin masa, e incluso tener masas oscilantes.

Sin embargo, hay al menos un beneficio para la QFT que surge del modelo descrito anteriormente. En este modelo, la corriente vectorial se conserva, mientras que la divergencia de la corriente axial es exactamente la requerida por la teoría de la perturbación cuántica. En QFT esta propiedad no es una consecuencia de la teoría, sino el resultado de una elección ambigua (conocida como anomalía axial).

dmckee --- gatito ex-moderador · Answer 2

Ya existen límites muy estrictos en la masa del fotón, por lo que solo afectaría nuestra comprensión de la física en las escalas más grandes.

Los cosmólogos tendrían que pensar mucho, por ejemplo.

Sin embargo, contrariamente a un comentario, no afectaría la relatividad más allá de requerirnos reconsiderar el nombre usual para $c$ : no "la velocidad de la luz" sino "la velocidad máxima".

Yo diría que, técnicamente, un fotón masivo resuelve muchos problemas cosmológicos. Puede eliminar por completo los escenarios de muerte por calor/frío y conducir a una jerarquía interminable de universos en constante expansión con leyes autosimilares (que no tienen que ser idénticas a las nuestras). "Nosotros" sería básicamente la era inflacionaria de otra persona. Eso es pura especulación de mi parte, por supuesto.
@CuriousOne, esta es una pregunta muy antigua, pero ¿podría proporcionar una referencia para leer sobre una jerarquía interminable de universos con leyes similares?

jamiebondi · Answer 3

Desde el punto de vista experimental, los fotones que tienen una masa darán lugar a una ligera desviación de la ley de Coulomb:

F = \frac{k {mi}^{2}}{r^{2 + X}}

$F=\frac{ke^2}{r^{2+x}}$ .

Desde el lado de la teoría, si los fotones tuvieran masa, el QED Lagrangiano contendría un término

A_{m} A^{m}

$A_\mu A^\mu$ lo que romperá la invariancia del indicador.

Sin embargo, en la física de la materia condensada, hay situaciones en las que los fotones ganan masa efectiva. Por ejemplo, puede decir que los fotones ganan masa efectiva en el efecto Meissner. De hecho, este es históricamente el primer pensamiento hacia el mecanismo de Higgs. Los fotones adquieren masa efectiva al igual que los bosones W y Z adquieren masa en el modelo estándar de física de partículas.

Esa no es la desviación correcta. El potencial producido por el intercambio de partículas masivas viene dado por el potencial de Yukawa: $tu = \frac{k {mi}^{2}}{r} {mi}^{- metro C r / ℏ} .$ $U = \frac{k e^2}{r} \operatorname{e}^{-mcr / \hbar}.$ Entonces la fuerza de Yukawa es: $F = \frac{k {mi}^{2}}{r^{2}} {mi}^{- metro C r / ℏ} (\frac{metro C r}{ℏ} + 1) .$ $F = \frac{ke^2}{r^2} \operatorname{e}^{-mcr/\hbar} \left(\frac{mcr}{\hbar} + 1\right).$

alcaparra · Answer 4

(1) Ya no se llamaría fotón. Un ejemplo: neutrino. (2) Si es una partícula con masa finita (y por simplicidad no tiene espín), su comportamiento sería entonces descrito por la ecuación de Klein-Gordon (-Fock), que es invariante de Lorentz. Seguirá siendo parte de la física bien conocida.

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