Reducción simpléctica al espacio de módulos en la teoría de Chern-Simons

Puede escribir la forma simpléctica en el espacio de fase grande como

Aquí$\langle, \rangle$es la forma de Matar en$\mathfrak{g}$, donde el$\delta_j A$son valorados. Esta fórmula se obtiene estudiando el problema variacional de la acción de Chern-Simons en una variedad de 3 con límite$\Sigma$. Se discute aquí en una formulación rigurosa (pdf) en la sección 4.2. También continúan discutiendo la reducción hamiltoniana al espacio de fase de dimensión finita. La idea es que este pequeño espacio de fase es un$G$-cociente de un conjunto de niveles del mapa de momentos

Editar: como se solicitó, si estamos estudiando el espacio de módulos de conexiones planas en un toroide, podemos pensar en esto como un par de elementos de conmutación$g_1, g_2 \in G$definido hasta la conjugación simultánea$(g_1,g_2) \mapsto (hg_1h^{-1},hg_2h^{-1})$. Este es un subcociente de$G \times G/G$, pero el cociente$G$actúa por conjugación, por lo que no es lo mismo que$G$, por ejemplo con$G = U(1)$es$U(1) \times U(1)$.

Podemos escribir$g_j = \exp(2\pi i t_j)$y el formulario de conexión$A = t_1 dx_1 + t_2 dx_2$, dónde$x_1,x_2$son$2\pi$coordenadas periódicas en el toro. Por aquí,$\exp i \int_{j} A = g_j$y$dA + [A,A] = 0$.

El espacio tangente en$A$está dada por todas las formas 1$\delta A$tal que$A + \epsilon\delta A$es plano a la orden$\epsilon^2$. Esto significa$d\delta A + [A,\delta A] = 0$. Puedes resolver esta ecuación usando las constantes de estructura del álgebra de Lie. Entonces la forma simpléctica se evalúa como$\Omega$arriba con$\Sigma = T^2$.

Por ejemplo, el espacio tangente en las secciones cero es solo el espacio de cerrado$\mathfrak{g}$-formas valoradas en 1, y usamos la forma Killing para evaluar$\Omega$.

Esta pregunta tiene muchas subpreguntas. Intentaré darte breves explicaciones y buenas referencias.

Cómo realizar la reducción simpléctica en "Mecánica cuántica"

La reducción simpléctica es básicamente equivalente a las restricciones de primera clase de Dirac, es decir, la reducción de la simetría de calibre. El modelo prototipo utilizado en QFT obtenido por reducción simpléctica es el$CP^{N}$modelo, que es una reducción simpléctica de$C^{N+1}$por$U(1)$:

empezamos desde$N+1$campos escalares$\phi_i$con su lagrangiano estándar. (Todo se puede realizar en$0+1$dimensiones del espacio-tiempo, es decir, la mecánica cuántica, sin embargo, esto no es obligatorio, podemos trabajar en cualquier dimensión). Este modelo tiene$U(N)$simetría global. Si queremos reducir la$U(1)$simetría$\phi_i \rightarrow e^{i\theta} \phi_i$, realizamos dos operaciones:

• primero, acoplamos mínimamente el modelo a un campo de calibre no dinámico$A_{\mu}$.

• En segundo lugar, observamos que la carga de Noether de esta simetría es$\phi_i \phi_i$(Convención de Einstein: este es el análogo de la ley de Gauss en electrodinámica). Esta carga debe ser constante. Por lo tanto, agregamos un término de restricción al Lagrangiano:$\lambda(\phi_i \phi_i-\mathrm{const.})$.

Ahora, resolvemos las ecuaciones clásicas de movimiento para el campo de calibre y la restricción de carga de Noether y sustituimos las soluciones y voilà, obtenemos el$CP^N$modelo sigma.

Consulte BKMU (sección 5.1.) para ver la construcción explícita. La solución del campo de indicador elimina un parámetro real y la restricción elimina un parámetro real adicional, por lo que el espacio objetivo del modelo resultante tiene una dimensión compleja menos.

Cómo realizar la reducción simpléctica y cuantificar la teoría 2+1 D de Chern Simons

En la teoría abeliana de Chern-Simons, (en la forma hamiltoniana con$A_0 = 0$). El número de grados de libertad antes de la reducción es$2$, ($A_1$y$A_2$) y como arriba, la reducción elimina dos grados de libertad reales, por lo que nos quedamos con cero grados de libertad y esto significa que, aunque comenzamos con un modelo teórico de campos, el modelo residual puede ser como máximo mecánico cuántico (en$0+1$dimensiones). Dicho de otra manera, el espacio de módulos es de dimensión finita. Por lo tanto, el método anterior no funciona directamente. El mismo razonamiento funciona también para el caso no abeliano.

Lo que podemos hacer es sustituir la solución clásica más general por los grados de libertad residuales de la mecánica cuántica (es decir, el espacio de módulos), compatibles con las condiciones de contorno. Todos los demás grados de libertad, excepto el espacio de módulos, desaparecerán de la acción debido a la simetría de norma (y la ley de Gauss) y llegaremos a un modelo de mecánica cuántica.

Esto es exactamente lo que hizo EMSS , quien obtuvo muchas soluciones exactas a la teoría de Chern Simons con y sin fuentes, en particular identificaron el espacio de fase y el espacio de Hilbert resultante. Consulte otros métodos equivalentes Bos y Nair y Dunne .

Sobre el origen de la simetría de grupos cuánticos

Los espacios de módulos de dimensión finita que surgen de la reducción simpléctica de la teoría de Chern-Simons son simplécticos. (En un número finito de dimensiones, Marsden y Weinstein demostraron que una reducción simpléctica de una variedad simpléctica da como resultado un espacio simpléctico. En nuestro caso donde el espacio inicial es de dimensión infinita (Chern-Simons), no existe un resultado tan general, pero se puede demostrar caso por caso). La forma simpléctica de la teoría reducida se puede considerar como un campo magnético (Cerrado pero no exacto$2-$forma).

Es un resultado general que la teoría mecánica cuántica reducida de la teoría de Chern-Simons siempre describe la dinámica restringida al nivel más bajo de Landau de una partícula no relativista en el espacio de módulos en presencia de un campo magnético igual a$k$(el nivel) por una estructura simpléctica básica (generador de$H^2(M, \mathbb{Z})$) del espacio de módulos.

La simetría de grupo cuántico es el álgebra satisfecha por los operadores de traslación magnéticos finitos, que tiene la forma:

Consulte el siguiente artículo de Sato con una explicación concisa de este hecho.

La solución de la teoría sobre el espacio de los módulos, por tanto para el modelo completo de Chern-Simons vendrá dada por una representación del grupo cuántico. En particular, fija la dimensión del espacio de Hilber de la teoría.