¿Intuición física/interpretación de derivadas fraccionarias/integrales?

Considere la ecuación de difusión de deriva

$$\dfrac{\partial}{\partial t}\psi=\mu\dfrac{\partial}{\partial x}\psi+\kappa^2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi.$$

El análisis dimensional nos dice que$\mu$es una longitud característica por tiempo (velocidad de deriva) mientras que$\kappa$es una longitud característica por raíz cuadrada de tiempo . Este pequeño hecho tiene curiosas consecuencias.

En física estadística,$\kappa^2=2D$es el coeficiente de difusión. Lo que sigue también se aplica a la mecánica cuántica no relativista, excepto que el coeficiente de difusión es imaginario,$\kappa^2=\frac{i\hbar}{2m}$.

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dado el valor$x(t)$de una curva/proceso estocástico en el tiempo$t$, para cualquier intervalo de tiempo$\Delta t > 0$, podemos probar para$x(t+\Delta t)$y el incremento$\Delta x\equiv x(t+\Delta t)-x(t)$es probabilístico y dependiente de$\Delta t$(y posiblemente en$t$o incluso en$x(t)$). Por ejemplo, en el caso de un movimiento browniano cada nuevo$\Delta x$toma valores de acuerdo a la distribución

$P(\Delta x)=\dfrac{1}{\kappa\sqrt{\Delta t}\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\dfrac{1}{2}\dfrac{(\Delta x)^2}{\kappa^2\,\Delta t} \right)$.

(Lo puse$\mu=0$y tenga en cuenta que por lo general se utiliza una variable$\sigma=\kappa\sqrt{\Delta t}$)

La distribución de la curva de Gauss para$\Delta x$dice que hasta para muy pequeños$\Delta t$, hay un cambio que no se desvanece que$x(t+\Delta t)$está lejos de$x(t)$. para mas grande$\Delta t$, la distribución se aplana y aumenta la posibilidad de una desviación neta mayor.

(Nota al margen: tenga en cuenta que este peso también surge en la cuantificación de$L(q,{\dot q})\propto {\dot q}^2$:

$\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}=\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2\Delta t\approx \int_0^{\Delta t} \left(\frac{{\mathrm d}x}{{\mathrm d}t}\right)^2{\mathrm d}t$.)

Ahora, por lo anterior$P$, tenemos:

$\langle \Delta x\rangle=0$

$\langle \left|\Delta x\right| \rangle=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,\kappa\,\sqrt{\Delta t}$

$\langle (\Delta x)^2\rangle=\kappa^2\,\Delta t$

Esto dice que el movimiento no tiene dirección preferente, sino por un tiempo de espera finito$\Delta t$y si$x(t)$es un camino malo, esperamos$x(t+\Delta t)=x(t)+\kappa\sqrt{\Delta t}$, ver imagen. La intuición es que para un tiempo de espera muy pequeño, es posible que ya tenga una gran desviación y cuanto más larga sea la espera, más se alejará del centro; sin embargo, este movimiento es sublineal porque con más tiempo, se producen más y más cancelaciones. también. Aquí se manifiesta una no diferenciabilidad de la curva en el modelo: aunque sabemos que la desviación general es como$\sqrt{\Delta t}$, no podemos hacer una buena estimación del crecimiento instantáneo, porque en$\Delta t=0$la pendiente de la función raíz cuadrada$\frac{∂}{∂\Delta t}\sqrt{\Delta t}\propto\frac{1}{\sqrt{\Delta t}}$no es finito! No hay$x'(t)$!

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La acumulación de los valores de una función.$F$por un camino suave$x(t)$es

$\int_{t_0}^{t_1} F(x(s))\, {\mathrm d}x(s)$,

cual es

$\int_{t_0}^{t_1} F(x(s))\, x'(s)\, {\mathrm d}s$,

dónde

$x'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$.

Las integrales estocásticas son un medio para calcular la acumulación de una función a lo largo de un camino en los casos en que lo anterior no está definido. Un proceso Itō es un proceso estocástico$X_t$que es la suma de una integral de Lebesgue y una de Itō:

$X_t = X_0 + \int_0^t \mu_s(X_s, s)\,\mathrm ds + \int_0^t \sigma_s(X_s, s) \,\mathrm dW_s$

Una integral de Itō es aproximadamente una integral de Riemann de variables aleatorias. La norma en la que converge el límite de sumas parciales no es la norma en$\mathbb R$, pero en cambio el resultado se define como una variable aleatoria para la cual la probabilidad de ser diferente al límite tiende a cero.

uno escribe

${\mathrm d}X_t = \mu_t(X_s, s) \, {\mathrm d}t + \sigma_t(X_s, s) \, {\mathrm d}W_t$

para la integral anterior. Si$X_t$no se conoce, esto se llama una ecuación diferencial estocástica en$X_t$. Ser un proceso de Itō es el análogo estocástico de ser diferenciable. Si$\mu_t$y$B_t$son independientes del tiempo, hablamos de difusión Itō. Un movimiento browniano geométrico se caracteriza por$\mu_t(X_s, s)=X_s\,\mu$y$\sigma_t(X_s, s)=X_s\,\sigma$, es decir, ambos son "solo"$\propto X_s$.

El famoso lema de Itō es

${\mathrm d}f(t,X_t) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial t} + \dfrac{\sigma_t^2}{2}\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}\right){\mathrm d}t + \dfrac{\partial f}{\partial x}\,{\mathrm d}X_t$

El término de la segunda derivada proviene de la difusión estocástica, un sabor no local, por así decirlo.

Como esto realmente es una relación integral, corresponde a una versión del teorema fundamental del cálculo. Si sabemos integrarnos frente a$X_t$, podemos calcular$f(t,X_t)$como tal integral (más una integral ordinaria).

Tenga en cuenta que para$f(x,t)=\frac{1}{2}x^2$y$\frac{\sigma_t^2}{2}=\kappa^2$obtenemos

${\mathrm d}\left(\frac{m}{2}X_t^2\right) = m\,\kappa^2{\mathrm d}t + X_t\,m\,{\mathrm d}X_t$

La siguiente parte es sobre las relaciones de conmutación.$xp$menos$px$, una versión de la última ecuación que caracteriza$x$en el segundo termino$px$como detectar un efecto de difusión. Eso es básicamente parte de lo que escribe Maimon en la página de Wikipedia sobre la formulación integral de caminos de la mecánica (cuántica):

Dejar

$p_{\Delta t}(t)=m\frac{x(t+{\Delta t})-x(t)}{{\Delta t}}$

si el limite$\lim_{\Delta t\to 0}p_{\Delta t}(t)$existe, entonces para axilar$\delta$, tenemos$\lim_{\Delta t\to}x(t+\delta^2{\Delta t})=x(t)$.

Por lo tanto, para tamaños de cuadrícula de tiempo cada vez más pequeños${\Delta t}$, por ejemplo, una expresión como

$x(t+\delta_1^2{\Delta t})\,x(t+\delta_2^2{\Delta t})\,x(t+\delta_3^2{\Delta t})$

converge a$x(t)^3$.

Sin embargo, por

$x(t+\Delta t)\approx x(t)+\kappa{\sqrt{\Delta t}}$

con la raíz cuadrada, encontramos

$x(t+\delta^2{\Delta t})\,p_{\Delta t}(t)=\delta^2\,m\,\kappa^2+x(t)\,p_{\Delta t}(t)$.

El resultado dice que dos esquemas de aproximación ingenuamente equivalentes (por ejemplo,$\delta=0$contra$\delta=1$) difieren sistemáticamente por un término de difusión aditivo (p. ej.$m\kappa^2$aquí). En mecánica cuántica, eso es$m\kappa^2=m\frac{i\hbar}{2m}=\frac{i\hbar}{2}$.

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así que tuvimos

$\frac{\partial}{\partial t} \psi = \kappa^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi$

(nótese el desequilibrio de dimensiones,$t$contra$x^2$) y a la vez

$P(\Delta x) \propto \exp\left(c\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}\right)$

como distribución del siguiente paso, y luego

$\langle |\Delta x|\rangle\propto (\Delta t)^{1/2}$

da la curva no suave.

Es posible que desee ver otras distribuciones del siguiente paso, dando efectivamente las teorías con$\langle |\Delta x|\rangle\propto (\Delta t)^{1/\alpha}$. Podemos ver que el coeficiente de proporcionalidad (el análogo de$\kappa$o la velocidad) debe ser fraccionario y a su vez esperamos un operador diferencial fraccionario$\frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha}$en la ecuación de difusión correspondiente. Obtienes un Laplaciano a la potencia de$\frac{\alpha}{2}$. El$\alpha\neq 2$-teoría deformada con complejo$\kappa$es lo que se denomina „mecánica cuántica fraccionada“, aunque no conozco resultados realmente notables, además de una mejor comprensión de los casos conocidos.

Para responder a su pregunta, asocie el poder de los operadores al valor esperado anterior$\langle |\Delta x|\rangle$. El$\alpha$caracteriza rápidamente el parámetro del sistema en su modelo se aleja estocásticamente del centro. Los llamados vuelos de Levy pueden propagarse de manera aproximada, la corriente/velocidad se vuelve algo más complicado (no proporcional al impulso, es decir, lo que se multiplica por$x$en la solución de onda plana). El caso de la derivada normal browniana es la difusión más amigable. No obtendrías esa intuición de esa otra pregunta sobre derivadas fraccionarias, porque allí el tipo inventó una ecuación con una derivada fraccionaria de tiempo y estamos acostumbrados a ver todo el espacio pero solo una vez (el ahora).